Theorem absz 15493

Description: A real number is an integer iff its absolute value is an integer. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℤ))

Proof of Theorem absz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2852	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
2	1	bicomd 226	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℤ))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℤ)))
4		recn 11303	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		znegclb 12746	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ -𝐴 ∈ ℤ))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ -𝐴 ∈ ℤ))
7		eleq1 2852	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ↔ -𝐴 ∈ ℤ))
8	7	bibi2d 345	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((𝐴 ∈ ℤ ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ↔ -𝐴 ∈ ℤ)))
9	6, 8	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℤ)))
10		absor 15482	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
11	3, 9, 10	mpjaod 874	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℤ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  ℂcc 11211  ℝcr 11212   -cneg 11555  ℤcz 12706  abscabs 15416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418

This theorem is used by:  nn0abscl  15494  pellexlem6  43984  modabsdifz  44136