Proof of Theorem modabsdifz
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simp1 1137 | . . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈
ℝ) | 
| 2 |  | simp2 1138 | . . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈
ℝ) | 
| 3 | 2 | recnd 11289 | . . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈
ℂ) | 
| 4 |  | simp3 1139 | . . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0) | 
| 5 | 3, 4 | absrpcld 15487 | . . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈
ℝ+) | 
| 6 |  | moddifz 13923 | . . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧
(abs‘𝑀) ∈
ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) | 
| 7 | 1, 5, 6 | syl2anc 584 | . 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) | 
| 8 |  | absidm 15362 | . . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℂ →
(abs‘(abs‘𝑀)) =
(abs‘𝑀)) | 
| 9 | 3, 8 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
(abs‘(abs‘𝑀)) =
(abs‘𝑀)) | 
| 10 | 9 | oveq2d 7447 | . . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
((abs‘(𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀)))) /
(abs‘(abs‘𝑀)))
= ((abs‘(𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘𝑀))) | 
| 11 | 1, 5 | modcld 13915 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈
ℝ) | 
| 12 | 1, 11 | resubcld 11691 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℝ) | 
| 13 | 12 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℂ) | 
| 14 | 3 | abscld 15475 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈
ℝ) | 
| 15 | 14 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈
ℂ) | 
| 16 | 5 | rpne0d 13082 | . . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0) | 
| 17 | 13, 15, 16 | absdivd 15494 | . . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
(abs‘((𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘(abs‘𝑀)))) | 
| 18 | 13, 3, 4 | absdivd 15494 | . . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
(abs‘((𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘𝑀))) | 
| 19 | 10, 17, 18 | 3eqtr4d 2787 | . . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
(abs‘((𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) = (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀))) | 
| 20 | 19 | eleq1d 2826 | . . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
((abs‘((𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ ↔
(abs‘((𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ)) | 
| 21 | 12, 14, 16 | redivcld 12095 | . . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℝ) | 
| 22 |  | absz 15350 | . . . 4
⊢ (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℝ → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)) | 
| 23 | 21, 22 | syl 17 | . . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)) | 
| 24 | 12, 2, 4 | redivcld 12095 | . . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℝ) | 
| 25 |  | absz 15350 | . . . 4
⊢ (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℝ → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ)) | 
| 26 | 24, 25 | syl 17 | . . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ)) | 
| 27 | 20, 23, 26 | 3bitr4d 311 | . 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)) | 
| 28 | 7, 27 | mpbid 232 | 1
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ) |