Proof of Theorem modabsdifz
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1135 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈
ℝ) |
2 | | simp2 1136 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈
ℝ) |
3 | 2 | recnd 11003 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈
ℂ) |
4 | | simp3 1137 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0) |
5 | 3, 4 | absrpcld 15160 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈
ℝ+) |
6 | | moddifz 13603 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧
(abs‘𝑀) ∈
ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) |
7 | 1, 5, 6 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) |
8 | | absidm 15035 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℂ →
(abs‘(abs‘𝑀)) =
(abs‘𝑀)) |
9 | 3, 8 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
(abs‘(abs‘𝑀)) =
(abs‘𝑀)) |
10 | 9 | oveq2d 7291 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
((abs‘(𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀)))) /
(abs‘(abs‘𝑀)))
= ((abs‘(𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘𝑀))) |
11 | 1, 5 | modcld 13595 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈
ℝ) |
12 | 1, 11 | resubcld 11403 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℝ) |
13 | 12 | recnd 11003 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℂ) |
14 | 3 | abscld 15148 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈
ℝ) |
15 | 14 | recnd 11003 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈
ℂ) |
16 | 5 | rpne0d 12777 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0) |
17 | 13, 15, 16 | absdivd 15167 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
(abs‘((𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘(abs‘𝑀)))) |
18 | 13, 3, 4 | absdivd 15167 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
(abs‘((𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘𝑀))) |
19 | 10, 17, 18 | 3eqtr4d 2788 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
(abs‘((𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) = (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀))) |
20 | 19 | eleq1d 2823 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) →
((abs‘((𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ ↔
(abs‘((𝑁 −
(𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ)) |
21 | 12, 14, 16 | redivcld 11803 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℝ) |
22 | | absz 15023 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℝ → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)) |
24 | 12, 2, 4 | redivcld 11803 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℝ) |
25 | | absz 15023 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℝ → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ)) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ)) |
27 | 20, 23, 26 | 3bitr4d 311 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)) |
28 | 7, 27 | mpbid 231 |
1
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ) |