Theorem modabsdifz 43693

Description: Divisibility in terms of modular reduction by the absolute value of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
modabsdifz	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)

Proof of Theorem modabsdifz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11238	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
4		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
5	3, 4	absrpcld 15504	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
6		moddifz 13918	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
7	1, 5, 6	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
8		absidm 15377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑀)) = (abs‘𝑀))
9	3, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘(abs‘𝑀)) = (abs‘𝑀))
10	9	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘(abs‘𝑀))) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘𝑀)))
11	1, 5	modcld 13910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 11643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℂ)
14	3	abscld 15492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
16	5	rpne0d 13066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
17	13, 15, 16	absdivd 15511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘(abs‘𝑀))))
18	13, 3, 4	absdivd 15511	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘𝑀)))
19	10, 17, 18	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) = (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)))
20	19	eleq1d 2848	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ))
21	12, 14, 16	redivcld 12044	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
22		absz 15364	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℝ → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ))
23	21, 22	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ))
24	12, 2, 4	redivcld 12044	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℝ)
25		absz 15364	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℝ → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ))
26	24, 25	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ))
27	20, 23, 26	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ))
28	7, 27	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   − cmin 11442   / cdiv 11872  ℤcz 12592  ℝ⁺crp 13017   mod cmo 13904  abscabs 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289

This theorem is referenced by:  jm2.19  43700