Theorem modabsdifz 38397

Description: Divisibility in terms of modular reduction by the absolute value of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
modabsdifz	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)

Proof of Theorem modabsdifz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1172	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		simp2 1173	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	recnd 10386	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
4		simp3 1174	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
5	3, 4	absrpcld 14565	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
6		moddifz 12978	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
7	1, 5, 6	syl2anc 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
8		absidm 14441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑀)) = (abs‘𝑀))
9	3, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘(abs‘𝑀)) = (abs‘𝑀))
10	9	oveq2d 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘(abs‘𝑀))) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘𝑀)))
11	1, 5	modcld 12970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 10783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℂ)
14	3	abscld 14553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
16	5	rpne0d 12162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
17	13, 15, 16	absdivd 14572	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘(abs‘𝑀))))
18	13, 3, 4	absdivd 14572	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘𝑀)))
19	10, 17, 18	3eqtr4d 2872	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) = (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)))
20	19	eleq1d 2892	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ))
21	12, 14, 16	redivcld 11180	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
22		absz 14429	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℝ → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ))
24	12, 2, 4	redivcld 11180	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℝ)
25		absz 14429	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℝ → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ))
27	20, 23, 26	3bitr4d 303	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ))
28	7, 27	mpbid 224	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  ℝcr 10252  0cc0 10253   − cmin 10586   / cdiv 11010  ℤcz 11705  ℝ⁺crp 12113   mod cmo 12964  abscabs 14352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fl 12889  df-mod 12965  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354

This theorem is referenced by:  jm2.19  38404