Theorem modabsdifz 43224

Description: Divisibility in terms of modular reduction by the absolute value of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
modabsdifz	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)

Proof of Theorem modabsdifz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
2		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11160	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
4		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
5	3, 4	absrpcld 15374	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
6		moddifz 13803	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
8		absidm 15247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑀)) = (abs‘𝑀))
9	3, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘(abs‘𝑀)) = (abs‘𝑀))
10	9	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘(abs‘𝑀))) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘𝑀)))
11	1, 5	modcld 13795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 11565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℂ)
14	3	abscld 15362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
16	5	rpne0d 12954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
17	13, 15, 16	absdivd 15381	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘(abs‘𝑀))))
18	13, 3, 4	absdivd 15381	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) = ((abs‘(𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) / (abs‘𝑀)))
19	10, 17, 18	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) = (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)))
20	19	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ))
21	12, 14, 16	redivcld 11969	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
22		absz 15234	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℝ → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀))) ∈ ℤ))
24	12, 2, 4	redivcld 11969	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℝ)
25		absz 15234	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℝ → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ ↔ (abs‘((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀)) ∈ ℤ))
27	20, 23, 26	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / (abs‘𝑀)) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ))
28	7, 27	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905   mod cmo 13789  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  jm2.19  43231