Theorem nn0abscl 15265

Description: The absolute value of an integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nn0abscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12519	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		absz 15264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℤ))
4	3	ibi 268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
5		zcn 12520	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		absge0 15240	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
8		elnn0z 12528	. 2 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
9	4, 7, 8	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  zabscl  15266  zabs0b  15267  absrdbnd  15295  divalglem0  16353  divalglem2  16355  divalglem5  16357  gcdcllem1  16459  absmulgcd  16509  zexpgcd  16525  lcmgcd  16567  lcmgcdeq  16572  mulgcddvds  16615  sqnprm  16663  zgcdsq  16714  4sqlem11  16917  odnncl  19511  gexdvds  19550  prmirredlem  21447  zdis  24800  aannenlem2  26313  efif1olem4  26527  lgsabs1  27317  2sqblem  27412  rplogsumlem2  27466  dvdsexpb  42812  pellexlem5  43278  jm2.19  43438  etransclem44  46721  etransc  46726