Theorem nn0abscl 15330

Description: The absolute value of an integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
nn0abscl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0abscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		absz 15329	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (abs‘𝐴) ∈ ℤ))
4	3	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
5		zcn 12567	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		absge0 15305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
8		elnn0z 12575	. 2 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
9	4, 7, 8	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067   ≤ cle 11211  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  abscabs 15252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254

This theorem is referenced by:  zabscl  15331  zabs0b  15332  absrdbnd  15360  divalglem0  16418  divalglem2  16420  divalglem5  16422  gcdcllem1  16524  absmulgcd  16574  zexpgcd  16590  lcmgcd  16632  lcmgcdeq  16637  mulgcddvds  16680  sqnprm  16728  zgcdsq  16779  4sqlem11  16982  odnncl  19576  gexdvds  19615  prmirredlem  21512  zdis  24865  aannenlem2  26381  efif1olem4  26598  lgsabs1  27388  2sqblem  27483  rplogsumlem2  27537  dvdsexpb  42905  pellexlem5  43371  jm2.19  43531  etransclem44  46813  etransc  46818