Theorem pthacycspth 35355

Description: A path in an acyclic graph is a simple path. (Contributed by BTernaryTau, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pthacycspth	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem pthacycspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclispth 29880	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃))
3		acycgrcycl 35345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
4	3	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
6	2, 5	jcad 512	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅)))
7		spthcycl 35327	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
8	7	simplbi 496	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
9	6, 8	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
10		pthisspthorcycl 29885	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
12		orim2 970	. . 3 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
13	9, 11, 12	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
14		pm1.2 904	. 2 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
15	13, 14	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  Pathscpths 29793  SPathscspths 29794  Cyclesccycls 29868  AcyclicGraphcacycgr 35340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-wlks 29683  df-trls 29774  df-pths 29797  df-spths 29798  df-cycls 29870  df-acycgr 35341

This theorem is referenced by: (None)