Theorem pthacycspth 32647

Description: A path in an acyclic graph is a simple path. (Contributed by BTernaryTau, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pthacycspth	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem pthacycspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclispth 27698	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃))
3		acycgrcycl 32637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
4	3	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
5	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹 = ∅))
6	2, 5	jcad 516	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅)))
7		spthcycl 32619	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
8	7	simplbi 501	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
9	6, 8	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
10		pthisspthorcycl 32618	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
11	10	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
12		orim2 965	. . 3 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
13	9, 11, 12	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
14		pm1.2 901	. 2 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∨ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
15	13, 14	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4227   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  Pathscpths 27613  SPathscspths 27614  Cyclesccycls 27686  AcyclicGraphcacycgr 32632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-hash 13754  df-word 13927  df-wlks 27501  df-trls 27594  df-pths 27617  df-spths 27618  df-cycls 27688  df-acycgr 32633

This theorem is referenced by: (None)