Theorem addge01d 11798

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
addge01d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem addge01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addge01 11720	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  xralrple  13180  2tnp1ge0ge0  13790  sermono  13996  bernneq  14188  01sqrexlem7  15191  absrele  15251  climserle  15605  iseraltlem3  15626  fsumless  15738  sinbnd  16119  sadcaddlem  16394  mndodconglem  19403  isabvd  20420  ovolicc2lem4  25028  ioombl1lem4  25069  ioorcl2  25080  mbfi1fseqlem6  25229  coemulhi  25759  cxpaddle  26249  jensenlem2  26481  padicabv  27122  axpaschlem  28187  chscllem2  30878  hstle1  31466  esumpcvgval  33064  itg2addnclem  36527  itg2addnc  36530  areacirclem5  36568  lcmineqlem18  40899  sticksstones6  40955  sticksstones7  40956  sticksstones22  40972  pell1qrge1  41593  ltrmxnn0  41673  xralrple4  44069  xralrple3  44070  mccllem  44299  wallispilem4  44770  fourierdlem42  44851  fourierdlem65  44873  etransclem35  44971  smfmullem1  45493  smfmullem2  45494  smfmullem3  45495