Theorem addge01d 11726

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
addge01d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem addge01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addge01 11648	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  xralrple  13125  2tnp1ge0ge0  13751  sermono  13959  bernneq  14154  01sqrexlem7  15173  absrele  15233  climserle  15588  iseraltlem3  15609  fsumless  15721  sinbnd  16107  sadcaddlem  16386  mndodconglem  19438  isabvd  20715  psdmul  22069  ovolicc2lem4  25437  ioombl1lem4  25478  ioorcl2  25489  mbfi1fseqlem6  25637  coemulhi  26175  cxpaddle  26678  jensenlem2  26914  padicabv  27557  axpaschlem  28903  chscllem2  31600  hstle1  32188  gsumwrd2dccatlem  33032  esumpcvgval  34044  itg2addnclem  37650  itg2addnc  37653  areacirclem5  37691  lcmineqlem18  42019  sticksstones6  42124  sticksstones7  42125  sticksstones22  42141  pell1qrge1  42843  ltrmxnn0  42922  xralrple4  45353  xralrple3  45354  mccllem  45579  wallispilem4  46050  fourierdlem42  46131  fourierdlem65  46153  etransclem35  46251  smfmullem1  46773  smfmullem2  46774  smfmullem3  46775