Theorem addge01d 11736

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
addge01d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem addge01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addge01 11658	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183

This theorem is referenced by:  xralrple  13155  2tnp1ge0ge0  13786  sermono  13994  bernneq  14189  01sqrexlem7  15208  absrele  15268  climserle  15623  iseraltlem3  15644  fsumless  15757  sinbnd  16145  sadcaddlem  16424  mndodconglem  19514  isabvd  20791  psdmul  22161  ovolicc2lem4  25512  ioombl1lem4  25553  ioorcl2  25564  mbfi1fseqlem6  25712  coemulhi  26244  cxpaddle  26741  jensenlem2  26976  padicabv  27618  axpaschlem  29034  chscllem2  31734  hstle1  32322  gsumwrd2dccatlem  33165  esumpcvgval  34269  itg2addnclem  38045  itg2addnc  38048  areacirclem5  38086  lcmineqlem18  42538  sticksstones6  42643  sticksstones7  42644  sticksstones22  42660  pell1qrge1  43322  ltrmxnn0  43401  xralrple4  45824  xralrple3  45825  mccllem  46049  wallispilem4  46518  fourierdlem42  46599  fourierdlem65  46621  etransclem35  46719  smfmullem1  47241  smfmullem2  47242  smfmullem3  47243