Theorem addge01d 11878

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
addge01d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem addge01d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		addge01 11800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  xralrple  13267  2tnp1ge0ge0  13880  sermono  14085  bernneq  14278  01sqrexlem7  15297  absrele  15357  climserle  15711  iseraltlem3  15732  fsumless  15844  sinbnd  16228  sadcaddlem  16503  mndodconglem  19583  isabvd  20835  psdmul  22193  ovolicc2lem4  25574  ioombl1lem4  25615  ioorcl2  25626  mbfi1fseqlem6  25775  coemulhi  26313  cxpaddle  26813  jensenlem2  27049  padicabv  27692  axpaschlem  28973  chscllem2  31670  hstle1  32258  esumpcvgval  34042  itg2addnclem  37631  itg2addnc  37634  areacirclem5  37672  lcmineqlem18  42003  sticksstones6  42108  sticksstones7  42109  sticksstones22  42125  pell1qrge1  42826  ltrmxnn0  42906  xralrple4  45288  xralrple3  45289  mccllem  45518  wallispilem4  45989  fourierdlem42  46070  fourierdlem65  46092  etransclem35  46190  smfmullem1  46712  smfmullem2  46713  smfmullem3  46714