Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrge1 41222
Description: A Pell solution in the first quadrant is at least 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrge1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)

Proof of Theorem pell1qrge1
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 41199 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
2 1red 11163 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•0)
43nn0red 12481 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
5 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
65ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
76nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
87nn0red 12481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
97nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
108, 9resqrtcld 15309 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
11 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1211nn0red 12481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1310, 12remulcld 11192 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
144, 13readdcld 11191 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
15 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„•0
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1711, 16nn0expcld 14156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•0)
187, 17nn0mulcld 12485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„•0)
1918nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 0 โ‰ค (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)))
2018nn0red 12481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„)
212, 20addge02d 11751 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (0 โ‰ค (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) โ†” 1 โ‰ค ((๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) + 1)))
2219, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 1 โ‰ค ((๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) + 1))
23 sq1 14106 . . . . . . . . . . . 12 (1โ†‘2) = 1
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (1โ†‘2) = 1)
25 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
2625ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
2726sqcld 14056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
285ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
2928nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
30 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3130ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3231sqcld 14056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
3329, 32mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
34 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3527, 33, 34subaddd 11537 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1 โ†” ((๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) + 1) = (๐‘Žโ†‘2)))
3635biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) + 1) = (๐‘Žโ†‘2))
3736eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = ((๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) + 1))
3822, 24, 373brtr4d 5142 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (1โ†‘2) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2))
39 0le1 11685 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค 1
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 0 โ‰ค 1)
413nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘Ž)
422, 4, 40, 41le2sqd 14167 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘Ž โ†” (1โ†‘2) โ‰ค (๐‘Žโ†‘2)))
4338, 42mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘Ž)
448, 9sqrtge0d 15312 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท))
4511nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
4610, 12, 44, 45mulge0d 11739 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 0 โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))
474, 13addge01d 11750 . . . . . . . . . 10 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (0 โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) โ†” ๐‘Ž โ‰ค (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
4846, 47mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
492, 4, 14, 43, 48letrd 11319 . . . . . . . 8 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
5049adantrl 715 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
51 simprl 770 . . . . . . 7 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ ๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
5250, 51breqtrrd 5138 . . . . . 6 ((((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
5352ex 414 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด))
5453rexlimdvva 3206 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด))
5554expimpd 455 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (๐ด = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด))
561, 55sylbid 239 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด))
5756imp 408 1 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   โˆ– cdif 3912   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125  โ—ปNNcsquarenn 41188  Pell1QRcpell1qr 41189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-pell1qr 41194
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  41224
  Copyright terms: Public domain W3C validator