Theorem pell1qrge1 42865

Description: A Pell solution in the first quadrant is at least 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1qrge1	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem pell1qrge1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell1qr 42842	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2		1red 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ∈ ℝ)
3		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ∈ ℝ)
5		eldifi 4097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
6	5	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ ℝ)
9	7	nn0ge0d 12513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝐷)
10	8, 9	resqrtcld 15391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
11		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑏 ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℝ)
14	4, 13	readdcld 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℝ)
15		2nn0 12466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 2 ∈ ℕ0)
17	11, 16	nn0expcld 14218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑏↑2) ∈ ℕ0)
18	7, 17	nn0mulcld 12515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℕ0)
19	18	nn0ge0d 12513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ (𝐷 · (𝑏↑2)))
20	18	nn0red 12511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℝ)
21	2, 20	addge02d 11774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (0 ≤ (𝐷 · (𝑏↑2)) ↔ 1 ≤ ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1)))
22	19, 21	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1))
23		sq1 14167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1↑2) = 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1↑2) = 1)
25		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
27	26	sqcld 14116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎↑2) ∈ ℂ)
28	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ)
29	28	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
30		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	31	sqcld 14116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑏↑2) ∈ ℂ)
33	29, 32	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐷 · (𝑏↑2)) ∈ ℂ)
34		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℂ)
35	27, 33, 34	subaddd 11558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1) = (𝑎↑2)))
36	35	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1) = (𝑎↑2))
37	36	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝑎↑2) = ((𝐷 · (𝑏↑2)) + 1))
38	22, 24, 37	3brtr4d 5142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1↑2) ≤ (𝑎↑2))
39		0le1 11708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 1)
41	3	nn0ge0d 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝑎)
42	2, 4, 40, 41	le2sqd 14229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (1 ≤ 𝑎 ↔ (1↑2) ≤ (𝑎↑2)))
43	38, 42	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ 𝑎)
44	8, 9	sqrtge0d 15394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ (√‘𝐷))
45	11	nn0ge0d 12513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ 𝑏)
46	10, 12, 44, 45	mulge0d 11762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 0 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑏))
47	4, 13	addge01d 11773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (0 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑏) ↔ 𝑎 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
48	46, 47	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 𝑎 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
49	2, 4, 14, 43, 48	letrd 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
50	49	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 ≤ (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
51		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
52	50, 51	breqtrrd 5138	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐴)
53	52	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ∈ ℕ0 ∧ 𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ 𝐴))
54	53	rexlimdvva 3195	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → 1 ≤ 𝐴))
55	54	expimpd 453	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 1 ≤ 𝐴))
56	1, 55	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷) → 1 ≤ 𝐴))
57	56	imp 406	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1QR‘𝐷)) → 1 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ↑cexp 14033  √csqrt 15206  ◻_NNcsquarenn 42831  Pell1QRcpell1qr 42832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-pell1qr 42837

This theorem is referenced by:  elpell1qr2  42867