Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sticksstones7 41275
Description: Closure property of sticks and stones function. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones7.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones7.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
sticksstones7.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
sticksstones7.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones7.5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)))
sticksstones7.6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) = 𝑁)
Assertion
Ref Expression
sticksstones7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   𝑖,𝐾,π‘₯   𝑖,𝑋,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑁(π‘₯,𝑖)
Proof of Theorem sticksstones7
StepHypRef Expression
1 sticksstones7.5 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–))))
3 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ π‘₯ = 𝑋)
43oveq2d 7428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (1...π‘₯) = (1...𝑋))
54sumeq1d 15652 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–))
63, 5oveq12d 7430 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
7 sticksstones7.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...𝐾))
8 elfznn 13535 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...𝐾) β†’ 𝑋 ∈ β„•)
97, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•)
109nnnn0d 12537 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
11 fzfid 13943 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑋) ∈ Fin)
12 1zzd 12598 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 1 ∈ β„€)
13 sticksstones7.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1413nn0zd 12589 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
1615peano2zd 12674 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
17 elfzelz 13506 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
19 elfzle1 13509 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 1 ≀ 𝑖)
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
2118zred 12671 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
229nnred 12232 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2416zred 12671 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
25 elfzle2 13510 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 𝑖 ≀ 𝑋)
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ 𝑋)
2713nn0red 12538 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
28 1red 11220 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2927, 28readdcld 11248 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
30 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝐾) β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
317, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
3227lep1d 12150 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
3322, 27, 29, 31, 32letrd 11376 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ (𝐾 + 1))
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ≀ (𝐾 + 1))
3521, 23, 24, 26, 34letrd 11376 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
3612, 16, 18, 20, 35elfzd 13497 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
37 sticksstones7.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
3837adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
3938ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
4036, 39mpdan 684 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
4111, 40fsumnn0cl 15687 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
4210, 41nn0addcld 12541 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ β„•0)
432, 6, 7, 42fvmptd 7006 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
44 1zzd 12598 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
45 sticksstones7.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4645nn0zd 12589 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4746, 14zaddcld 12675 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 𝐾) ∈ β„€)
4842nn0zd 12589 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ β„€)
49 eqid 2731 . . . . . 6 1 = 1
50 1p0e1 12341 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5149, 50eqtr4i 2762 . . . . 5 1 = (1 + 0)
5251a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (1 + 0))
53 0red 11222 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5441nn0red 12538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
559nnge1d 12265 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑋)
5641nn0ge0d 12540 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–))
5728, 53, 22, 54, 55, 56le2addd 11838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 + 0) ≀ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
5852, 57eqbrtrd 5171 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
5945nn0red 12538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
60 fzfid 13943 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
6144adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 1 ∈ β„€)
6214peano2zd 12674 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
64 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
6628adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
6722adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6867, 66readdcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
6965zred 12671 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
7055adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 1 ≀ 𝑋)
7167lep1d 12150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 + 1))
7266, 67, 68, 70, 71letrd 11376 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 1 ≀ (𝑋 + 1))
73 elfzle1 13509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) β†’ (𝑋 + 1) ≀ 𝑖)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ (𝑋 + 1) ≀ 𝑖)
7566, 68, 69, 72, 74letrd 11376 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 1 ≀ 𝑖)
76 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
7861, 63, 65, 75, 77elfzd 13497 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
7937ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
8079adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
8178, 80mpdan 684 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
8260, 81fsumnn0cl 15687 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
8382nn0ge0d 12540 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–))
8482nn0red 12538 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
8554, 84addge01d 11807 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–))))
8683, 85mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–)))
8722ltp1d 12149 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 < (𝑋 + 1))
88 fzdisj 13533 . . . . . . . . 9 (𝑋 < (𝑋 + 1) β†’ ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = βˆ…)
8987, 88syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = βˆ…)
9010nn0zd 12589 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
9144, 62, 90, 55, 33elfzd 13497 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
92 fzsplit 13532 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)) β†’ (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) βˆͺ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) βˆͺ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
94 fzfid 13943 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
95 nn0cn 12487 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
9679, 95syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
9789, 93, 94, 96fsumsplit 15692 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–)))
9886, 97breqtrrd 5177 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–))
99 sticksstones7.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) = 𝑁)
10099eqcomd 2737 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–))
10198, 100breqtrrd 5177 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ 𝑁)
10222, 54, 27, 59, 31, 101le2addd 11838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ≀ (𝐾 + 𝑁))
10313nn0cnd 12539 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
10445nn0cnd 12539 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
105103, 104addcomd 11421 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
106102, 105breqtrd 5175 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ≀ (𝑁 + 𝐾))
10744, 47, 48, 58, 106elfzd 13497 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
10843, 107eqeltrd 2832 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  ...cfz 13489  Ξ£csu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638
This theorem is referenced by:  sticksstones8  41276
  Copyright terms: Public domain W3C validator