Theorem sticksstones7 43021

Description: Closure property of sticks and stones function. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones7.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones7.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones7.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones7.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones7.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
sticksstones7.6	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sticksstones7	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑖,𝐾,𝑥   𝑖,𝑋,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑁(𝑥, 𝑖)

Proof of Theorem sticksstones7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones7.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖))))
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
5	4	sumeq1d 15790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
6	3, 5	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
7		sticksstones7.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
8		elfznn 13611	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
11		fzfid 14040	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
12		1zzd 12652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
13		sticksstones7.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 12731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
17		elfzelz 13581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℤ)
18	17	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
19		elfzle1 13584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 1 ≤ 𝑖)
20	19	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
21	18	zred 12728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
22	9	nnred 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
24	16	zred 12728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
25		elfzle2 13585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ≤ 𝑋)
26	25	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝑋)
27	13	nn0red 12593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
28		1red 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	27, 28	readdcld 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
30		elfzle2 13585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ≤ 𝐾)
31	7, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐾)
32	27	lep1d 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
33	22, 27, 29, 31, 32	letrd 11394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
35	21, 23, 24, 26, 34	letrd 11394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
36	12, 16, 18, 20, 35	elfzd 13572	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
37		sticksstones7.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
38	37	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
39	38	ffvelcdmda 7078	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
40	36, 39	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
41	11, 40	fsumnn0cl 15825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
42	10, 41	nn0addcld 12596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
43	2, 6, 7, 42	fvmptd 6995	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
44		1zzd 12652	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45		sticksstones7.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
46	45	nn0zd 12643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
47	46, 14	zaddcld 12732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
48	42	nn0zd 12643	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℤ)
49		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ 1 = 1
50		1p0e1 12390	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
51	49, 50	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ 1 = (1 + 0)
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
53		0red 11238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
54	41	nn0red 12593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
55	9	nnge1d 12311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
56	41	nn0ge0d 12595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
57	28, 53, 22, 54, 55, 56	le2addd 11860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
58	52, 57	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
59	45	nn0red 12593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
60		fzfid 14040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
61	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
62	14	peano2zd 12731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
64		elfzelz 13581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
65	64	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
66	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
67	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
68	67, 66	readdcld 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
69	65	zred 12728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
70	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑋)
71	67	lep1d 12173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
72	66, 67, 68, 70, 71	letrd 11394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
73		elfzle1 13584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
74	73	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
75	66, 68, 69, 72, 74	letrd 11394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑖)
76		elfzle2 13585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
77	76	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
78	61, 63, 65, 75, 77	elfzd 13572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
79	37	ffvelcdmda 7078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
80	79	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
81	78, 80	mpdan 700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
82	60, 81	fsumnn0cl 15825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
83	82	nn0ge0d 12595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
84	82	nn0red 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
85	54, 84	addge01d 11829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))))
86	83, 85	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖)))
87	22	ltp1d 12172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑋 + 1))
88		fzdisj 13609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
89	87, 88	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
90	10	nn0zd 12643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
91	44, 62, 90, 55, 33	elfzd 13572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
92		fzsplit 13608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
93	91, 92	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
94		fzfid 14040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
95		nn0cn 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
96	79, 95	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
97	89, 93, 94, 96	fsumsplit 15830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖)))
98	86, 97	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
99		sticksstones7.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = 𝑁)
100	99	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
101	98, 100	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ 𝑁)
102	22, 54, 27, 59, 31, 101	le2addd 11860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ≤ (𝐾 + 𝑁))
103	13	nn0cnd 12594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
104	45	nn0cnd 12594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
105	103, 104	addcomd 11439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
106	102, 105	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ≤ (𝑁 + 𝐾))
107	44, 47, 48, 58, 106	elfzd 13572	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
108	43, 107	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ...cfz 13564  Σcsu 15776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-sum 15777

This theorem is used by:  sticksstones8  43022