Theorem sticksstones7 42774

Description: Closure property of sticks and stones function. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones7.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones7.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones7.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones7.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones7.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
sticksstones7.6	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sticksstones7	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑖,𝐾,𝑥   𝑖,𝑋,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones7.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖))))
3		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
5	4	sumeq1d 15729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
6	3, 5	oveq12d 7416	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
7		sticksstones7.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
8		elfznn 13560	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12544	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
11		fzfid 13988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
12		1zzd 12604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
13		sticksstones7.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
15	14	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 12682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
17		elfzelz 13531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℤ)
18	17	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
19		elfzle1 13534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 1 ≤ 𝑖)
20	19	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
21	18	zred 12679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
22	9	nnred 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
23	22	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
24	16	zred 12679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
25		elfzle2 13535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ≤ 𝑋)
26	25	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝑋)
27	13	nn0red 12545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
28		1red 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	27, 28	readdcld 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
30		elfzle2 13535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ≤ 𝐾)
31	7, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐾)
32	27	lep1d 12125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
33	22, 27, 29, 31, 32	letrd 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
34	33	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
35	21, 23, 24, 26, 34	letrd 11342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
36	12, 16, 18, 20, 35	elfzd 13522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
37		sticksstones7.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
38	37	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
39	38	ffvelcdmda 7067	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
40	36, 39	mpdan 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
41	11, 40	fsumnn0cl 15765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
42	10, 41	nn0addcld 12548	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
43	2, 6, 7, 42	fvmptd 6985	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
44		1zzd 12604	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45		sticksstones7.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
46	45	nn0zd 12595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
47	46, 14	zaddcld 12683	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
48	42	nn0zd 12595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℤ)
49		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ 1 = 1
50		1p0e1 12342	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
51	49, 50	eqtr4i 2790	. . . . 5 ⊢ 1 = (1 + 0)
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
53		0red 11186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
54	41	nn0red 12545	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
55	9	nnge1d 12263	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
56	41	nn0ge0d 12547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
57	28, 53, 22, 54, 55, 56	le2addd 11808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
58	52, 57	eqbrtrd 5124	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
59	45	nn0red 12545	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
60		fzfid 13988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
61	44	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
62	14	peano2zd 12682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
63	62	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
64		elfzelz 13531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
65	64	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
66	28	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
67	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
68	67, 66	readdcld 11213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
69	65	zred 12679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
70	55	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑋)
71	67	lep1d 12125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
72	66, 67, 68, 70, 71	letrd 11342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
73		elfzle1 13534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
74	73	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
75	66, 68, 69, 72, 74	letrd 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑖)
76		elfzle2 13535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
77	76	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
78	61, 63, 65, 75, 77	elfzd 13522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
79	37	ffvelcdmda 7067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
80	79	adantlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
81	78, 80	mpdan 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
82	60, 81	fsumnn0cl 15765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
83	82	nn0ge0d 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
84	82	nn0red 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
85	54, 84	addge01d 11777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))))
86	83, 85	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖)))
87	22	ltp1d 12124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑋 + 1))
88		fzdisj 13558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
90	10	nn0zd 12595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
91	44, 62, 90, 55, 33	elfzd 13522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
92		fzsplit 13557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
94		fzfid 13988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
95		nn0cn 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
96	79, 95	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
97	89, 93, 94, 96	fsumsplit 15770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖)))
98	86, 97	breqtrrd 5130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
99		sticksstones7.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = 𝑁)
100	99	eqcomd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
101	98, 100	breqtrrd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ 𝑁)
102	22, 54, 27, 59, 31, 101	le2addd 11808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ≤ (𝐾 + 𝑁))
103	13	nn0cnd 12546	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
104	45	nn0cnd 12546	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
105	103, 104	addcomd 11387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
106	102, 105	breqtrd 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ≤ (𝑁 + 𝐾))
107	44, 47, 48, 58, 106	elfzd 13522	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
108	43, 107	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4287   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11218   ≤ cle 11219  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ...cfz 13514  Σcsu 15715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-sum 15716

This theorem is referenced by:  sticksstones8  42775