Theorem sticksstones7 43348

Description: Closure property of sticks and stones function. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones7.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones7.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones7.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones7.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones7.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
sticksstones7.6	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sticksstones7	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑖,𝐾,𝑥   𝑖,𝑋,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑁(𝑥, 𝑖)

Proof of Theorem sticksstones7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones7.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖))))
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
5	4	sumeq1d 15882	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
6	3, 5	oveq12d 7448	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
7		sticksstones7.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
8		elfznn 13700	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
11		fzfid 14129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
12		1zzd 12740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
13		sticksstones7.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 12731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 12819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
17		elfzelz 13669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℤ)
18	17	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
19		elfzle1 13673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 1 ≤ 𝑖)
20	19	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
21	18	zred 12816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
22	9	nnred 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
24	16	zred 12816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
25		elfzle2 13674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ≤ 𝑋)
26	25	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝑋)
27	13	nn0red 12681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
28		1red 11322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	27, 28	readdcld 11351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
30		elfzle2 13674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ≤ 𝐾)
31	7, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐾)
32	27	lep1d 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
33	22, 27, 29, 31, 32	letrd 11480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
35	21, 23, 24, 26, 34	letrd 11480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
36	12, 16, 18, 20, 35	elfzd 13660	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
37		sticksstones7.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
38	37	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
39	38	ffvelcdmda 7095	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
40	36, 39	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
41	11, 40	fsumnn0cl 15917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
42	10, 41	nn0addcld 12684	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
43	2, 6, 7, 42	fvmptd 7012	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
44		1zzd 12740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45		sticksstones7.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
46	45	nn0zd 12731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
47	46, 14	zaddcld 12820	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
48	42	nn0zd 12731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℤ)
49		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ 1 = 1
50		1p0e1 12478	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
51	49, 50	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ 1 = (1 + 0)
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
53		0red 11324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
54	41	nn0red 12681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
55	9	nnge1d 12399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
56	41	nn0ge0d 12683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
57	28, 53, 22, 54, 55, 56	le2addd 11948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
58	52, 57	eqbrtrd 5130	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
59	45	nn0red 12681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
60		fzfid 14129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
61	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
62	14	peano2zd 12819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
64		elfzelz 13669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
65	64	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
66	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
67	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
68	67, 66	readdcld 11351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
69	65	zred 12816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
70	55	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑋)
71	67	lep1d 12261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
72	66, 67, 68, 70, 71	letrd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
73		elfzle1 13673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
74	73	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
75	66, 68, 69, 72, 74	letrd 11480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑖)
76		elfzle2 13674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
77	76	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
78	61, 63, 65, 75, 77	elfzd 13660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
79	37	ffvelcdmda 7095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
80	79	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
81	78, 80	mpdan 700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
82	60, 81	fsumnn0cl 15917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
83	82	nn0ge0d 12683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
84	82	nn0red 12681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
85	54, 84	addge01d 11917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))))
86	83, 85	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖)))
87	22	ltp1d 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑋 + 1))
88		fzdisj 13698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
89	87, 88	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
90	10	nn0zd 12731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
91	44, 62, 90, 55, 33	elfzd 13660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
92		fzsplit 13697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
93	91, 92	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
94		fzfid 14129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
95		nn0cn 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
96	79, 95	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
97	89, 93, 94, 96	fsumsplit 15922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖)))
98	86, 97	breqtrrd 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
99		sticksstones7.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = 𝑁)
100	99	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
101	98, 100	breqtrrd 5136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ 𝑁)
102	22, 54, 27, 59, 31, 101	le2addd 11948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ≤ (𝐾 + 𝑁))
103	13	nn0cnd 12682	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
104	45	nn0cnd 12682	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
105	103, 104	addcomd 11525	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
106	102, 105	breqtrd 5134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ≤ (𝑁 + 𝐾))
107	44, 47, 48, 58, 106	elfzd 13660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
108	43, 107	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   < clt 11356   ≤ cle 11357  ℕcn 12348  ℕ₀cn0 12619  ℤcz 12706  ...cfz 13652  Σcsu 15868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670  df-sum 15869

This theorem is used by:  sticksstones8  43349