Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones7 42153
Description: Closure property of sticks and stones function. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones7.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones7.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones7.3 (𝜑𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones7.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones7.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖)))
sticksstones7.6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) = 𝑁)
Assertion
Ref Expression
sticksstones7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑖,𝐾,𝑥   𝑖,𝑋,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones7
StepHypRef Expression
1 sticksstones7.5 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖))))
3 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
43oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
54sumeq1d 15736 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖))
63, 5oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)))
7 sticksstones7.4 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝐾))
8 elfznn 13593 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
109nnnn0d 12587 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℕ0)
11 fzfid 14014 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
12 1zzd 12648 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
13 sticksstones7.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
1413nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
1615peano2zd 12725 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
17 elfzelz 13564 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℤ)
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
19 elfzle1 13567 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 1 ≤ 𝑖)
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
2118zred 12722 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
229nnred 12281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
2416zred 12722 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
25 elfzle2 13568 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖𝑋)
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖𝑋)
2713nn0red 12588 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
28 1red 11262 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2927, 28readdcld 11290 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
30 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋𝐾)
317, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐾)
3227lep1d 12199 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
3322, 27, 29, 31, 32letrd 11418 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
3521, 23, 24, 26, 34letrd 11418 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
3612, 16, 18, 20, 35elfzd 13555 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
37 sticksstones7.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
3837adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
3938ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
4036, 39mpdan 687 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
4111, 40fsumnn0cl 15772 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
4210, 41nn0addcld 12591 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ∈ ℕ0)
432, 6, 7, 42fvmptd 7023 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)))
44 1zzd 12648 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45 sticksstones7.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4645nn0zd 12639 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4746, 14zaddcld 12726 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
4842nn0zd 12639 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ∈ ℤ)
49 eqid 2737 . . . . . 6 1 = 1
50 1p0e1 12390 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5149, 50eqtr4i 2768 . . . . 5 1 = (1 + 0)
5251a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 = (1 + 0))
53 0red 11264 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5441nn0red 12588 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ∈ ℝ)
559nnge1d 12314 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
5641nn0ge0d 12590 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖))
5728, 53, 22, 54, 55, 56le2addd 11882 . . . 4 (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)))
5852, 57eqbrtrd 5165 . . 3 (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)))
5945nn0red 12588 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
60 fzfid 14014 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
6144adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
6214peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
64 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
6628adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
6722adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
6867, 66readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
6965zred 12722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
7055adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑋)
7167lep1d 12199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
7266, 67, 68, 70, 71letrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
73 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
7566, 68, 69, 72, 74letrd 11418 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑖)
76 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
7861, 63, 65, 75, 77elfzd 13555 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
7937ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
8079adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
8178, 80mpdan 687 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
8260, 81fsumnn0cl 15772 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
8382nn0ge0d 12590 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖))
8482nn0red 12588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) ∈ ℝ)
8554, 84addge01d 11851 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖))))
8683, 85mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖)))
8722ltp1d 12198 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < (𝑋 + 1))
88 fzdisj 13591 . . . . . . . . 9 (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
8987, 88syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
9010nn0zd 12639 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
9144, 62, 90, 55, 33elfzd 13555 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
92 fzsplit 13590 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
94 fzfid 14014 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
95 nn0cn 12536 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑖) ∈ ℕ0 → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9679, 95syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9789, 93, 94, 96fsumsplit 15777 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖)))
9886, 97breqtrrd 5171 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖))
99 sticksstones7.6 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) = 𝑁)
10099eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑𝑁 = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖))
10198, 100breqtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ≤ 𝑁)
10222, 54, 27, 59, 31, 101le2addd 11882 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ≤ (𝐾 + 𝑁))
10313nn0cnd 12589 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
10445nn0cnd 12589 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
105103, 104addcomd 11463 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
106102, 105breqtrd 5169 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ≤ (𝑁 + 𝐾))
10744, 47, 48, 58, 106elfzd 13555 . 2 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
10843, 107eqeltrd 2841 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949  cin 3950  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  sticksstones8  42154
  Copyright terms: Public domain W3C validator