Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones7 42134
Description: Closure property of sticks and stones function. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones7.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones7.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones7.3 (𝜑𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones7.4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones7.5 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖)))
sticksstones7.6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) = 𝑁)
Assertion
Ref Expression
sticksstones7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑖,𝐾,𝑥   𝑖,𝑋,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones7
StepHypRef Expression
1 sticksstones7.5 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖))))
3 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
43oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
54sumeq1d 15733 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖))
63, 5oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)))
7 sticksstones7.4 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝐾))
8 elfznn 13590 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
109nnnn0d 12585 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℕ0)
11 fzfid 14011 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
12 1zzd 12646 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
13 sticksstones7.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
1413nn0zd 12637 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
1615peano2zd 12723 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
17 elfzelz 13561 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℤ)
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
19 elfzle1 13564 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 1 ≤ 𝑖)
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
2118zred 12720 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
229nnred 12279 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
2416zred 12720 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
25 elfzle2 13565 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖𝑋)
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖𝑋)
2713nn0red 12586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
28 1red 11260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2927, 28readdcld 11288 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
30 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋𝐾)
317, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐾)
3227lep1d 12197 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
3322, 27, 29, 31, 32letrd 11416 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
3521, 23, 24, 26, 34letrd 11416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
3612, 16, 18, 20, 35elfzd 13552 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
37 sticksstones7.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
3837adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
3938ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
4036, 39mpdan 687 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
4111, 40fsumnn0cl 15769 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
4210, 41nn0addcld 12589 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ∈ ℕ0)
432, 6, 7, 42fvmptd 7023 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)))
44 1zzd 12646 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45 sticksstones7.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4645nn0zd 12637 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4746, 14zaddcld 12724 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
4842nn0zd 12637 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ∈ ℤ)
49 eqid 2735 . . . . . 6 1 = 1
50 1p0e1 12388 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5149, 50eqtr4i 2766 . . . . 5 1 = (1 + 0)
5251a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 = (1 + 0))
53 0red 11262 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5441nn0red 12586 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ∈ ℝ)
559nnge1d 12312 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
5641nn0ge0d 12588 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖))
5728, 53, 22, 54, 55, 56le2addd 11880 . . . 4 (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)))
5852, 57eqbrtrd 5170 . . 3 (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)))
5945nn0red 12586 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
60 fzfid 14011 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
6144adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
6214peano2zd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
64 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
6628adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
6722adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
6867, 66readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
6965zred 12720 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
7055adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑋)
7167lep1d 12197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
7266, 67, 68, 70, 71letrd 11416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
73 elfzle1 13564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
7566, 68, 69, 72, 74letrd 11416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑖)
76 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
7861, 63, 65, 75, 77elfzd 13552 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
7937ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
8079adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
8178, 80mpdan 687 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
8260, 81fsumnn0cl 15769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) ∈ ℕ0)
8382nn0ge0d 12588 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖))
8482nn0red 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) ∈ ℝ)
8554, 84addge01d 11849 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖))))
8683, 85mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖)))
8722ltp1d 12196 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < (𝑋 + 1))
88 fzdisj 13588 . . . . . . . . 9 (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
8987, 88syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
9010nn0zd 12637 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
9144, 62, 90, 55, 33elfzd 13552 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
92 fzsplit 13587 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
94 fzfid 14011 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
95 nn0cn 12534 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑖) ∈ ℕ0 → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9679, 95syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺𝑖) ∈ ℂ)
9789, 93, 94, 96fsumsplit 15774 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖)))
9886, 97breqtrrd 5176 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖))
99 sticksstones7.6 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖) = 𝑁)
10099eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑𝑁 = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺𝑖))
10198, 100breqtrrd 5176 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖) ≤ 𝑁)
10222, 54, 27, 59, 31, 101le2addd 11880 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ≤ (𝐾 + 𝑁))
10313nn0cnd 12587 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
10445nn0cnd 12587 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
105103, 104addcomd 11461 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
106102, 105breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ≤ (𝑁 + 𝐾))
10744, 47, 48, 58, 106elfzd 13552 . 2 (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺𝑖)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
10843, 107eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  cin 3962  c0 4339   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  sticksstones8  42135
  Copyright terms: Public domain W3C validator