Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sticksstones7 41274
Description: Closure property of sticks and stones function. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones7.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones7.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
sticksstones7.3 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
sticksstones7.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones7.5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)))
sticksstones7.6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) = 𝑁)
Assertion
Ref Expression
sticksstones7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   𝑖,𝐾,π‘₯   𝑖,𝑋,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑁(π‘₯,𝑖)
Proof of Theorem sticksstones7
StepHypRef Expression
1 sticksstones7.5 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝐾) ↦ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–))))
3 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ π‘₯ = 𝑋)
43oveq2d 7427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (1...π‘₯) = (1...𝑋))
54sumeq1d 15651 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–))
63, 5oveq12d 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ + Σ𝑖 ∈ (1...π‘₯)(πΊβ€˜π‘–)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
7 sticksstones7.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...𝐾))
8 elfznn 13534 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...𝐾) β†’ 𝑋 ∈ β„•)
97, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•)
109nnnn0d 12536 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„•0)
11 fzfid 13942 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑋) ∈ Fin)
12 1zzd 12597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 1 ∈ β„€)
13 sticksstones7.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1413nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
1514adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
1615peano2zd 12673 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
17 elfzelz 13505 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
1817adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
19 elfzle1 13508 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 1 ≀ 𝑖)
2019adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
2118zred 12670 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
229nnred 12231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2322adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
2416zred 12670 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
25 elfzle2 13509 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑋) β†’ 𝑖 ≀ 𝑋)
2625adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ 𝑋)
2713nn0red 12537 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
28 1red 11219 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2927, 28readdcld 11247 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
30 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (1...𝐾) β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
317, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐾)
3227lep1d 12149 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ≀ (𝐾 + 1))
3322, 27, 29, 31, 32letrd 11375 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ (𝐾 + 1))
3433adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑋 ≀ (𝐾 + 1))
3521, 23, 24, 26, 34letrd 11375 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
3612, 16, 18, 20, 35elfzd 13496 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
37 sticksstones7.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
3837adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ 𝐺:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
3938ffvelcdmda 7085 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
4036, 39mpdan 683 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
4111, 40fsumnn0cl 15686 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
4210, 41nn0addcld 12540 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ β„•0)
432, 6, 7, 42fvmptd 7004 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
44 1zzd 12597 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
45 sticksstones7.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4645nn0zd 12588 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4746, 14zaddcld 12674 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 𝐾) ∈ β„€)
4842nn0zd 12588 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ β„€)
49 eqid 2730 . . . . . 6 1 = 1
50 1p0e1 12340 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5149, 50eqtr4i 2761 . . . . 5 1 = (1 + 0)
5251a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 = (1 + 0))
53 0red 11221 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5441nn0red 12537 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
559nnge1d 12264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑋)
5641nn0ge0d 12539 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–))
5728, 53, 22, 54, 55, 56le2addd 11837 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 + 0) ≀ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
5852, 57eqbrtrd 5169 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)))
5945nn0red 12537 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
60 fzfid 13942 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
6144adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 1 ∈ β„€)
6214peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
6362adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„€)
64 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
6564adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
6628adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
6722adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6867, 66readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
6965zred 12670 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
7055adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 1 ≀ 𝑋)
7167lep1d 12149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 + 1))
7266, 67, 68, 70, 71letrd 11375 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 1 ≀ (𝑋 + 1))
73 elfzle1 13508 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) β†’ (𝑋 + 1) ≀ 𝑖)
7473adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ (𝑋 + 1) ≀ 𝑖)
7566, 68, 69, 72, 74letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 1 ≀ 𝑖)
76 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
7776adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ≀ (𝐾 + 1))
7861, 63, 65, 75, 77elfzd 13496 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
7937ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
8079adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
8178, 80mpdan 683 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
8260, 81fsumnn0cl 15686 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
8382nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–))
8482nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
8554, 84addge01d 11806 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 ≀ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–))))
8683, 85mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–)))
8722ltp1d 12148 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 < (𝑋 + 1))
88 fzdisj 13532 . . . . . . . . 9 (𝑋 < (𝑋 + 1) β†’ ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = βˆ…)
8987, 88syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = βˆ…)
9010nn0zd 12588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„€)
9144, 62, 90, 55, 33elfzd 13496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
92 fzsplit 13531 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)) β†’ (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) βˆͺ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) βˆͺ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
94 fzfid 13942 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
95 nn0cn 12486 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜π‘–) ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
9679, 95syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
9789, 93, 94, 96fsumsplit 15691 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–)))
9886, 97breqtrrd 5175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–))
99 sticksstones7.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–) = 𝑁)
10099eqcomd 2736 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(πΊβ€˜π‘–))
10198, 100breqtrrd 5175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–) ≀ 𝑁)
10222, 54, 27, 59, 31, 101le2addd 11837 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ≀ (𝐾 + 𝑁))
10313nn0cnd 12538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
10445nn0cnd 12538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
105103, 104addcomd 11420 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
106102, 105breqtrd 5173 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ≀ (𝑁 + 𝐾))
10744, 47, 48, 58, 106elfzd 13496 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(πΊβ€˜π‘–)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
10843, 107eqeltrd 2831 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ...cfz 13488  Ξ£csu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  sticksstones8  41275
  Copyright terms: Public domain W3C validator