Theorem sticksstones7 42134

Description: Closure property of sticks and stones function. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones7.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones7.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones7.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
sticksstones7.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
sticksstones7.5	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
sticksstones7.6	⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sticksstones7	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑖,𝐾,𝑥   𝑖,𝑋,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑁(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem sticksstones7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones7.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖))))
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
4	3	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (1...𝑥) = (1...𝑋))
5	4	sumeq1d 15733	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
6	3, 5	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑥)(𝐺‘𝑖)) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
7		sticksstones7.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝐾))
8		elfznn 13590	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
11		fzfid 14011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑋) ∈ Fin)
12		1zzd 12646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
13		sticksstones7.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 12637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 12723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
17		elfzelz 13561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ∈ ℤ)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℤ)
19		elfzle1 13564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 1 ≤ 𝑖)
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 1 ≤ 𝑖)
21	18	zred 12720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ ℝ)
22	9	nnred 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ∈ ℝ)
24	16	zred 12720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
25		elfzle2 13565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑋) → 𝑖 ≤ 𝑋)
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ 𝑋)
27	13	nn0red 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
28		1red 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29	27, 28	readdcld 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
30		elfzle2 13565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝐾) → 𝑋 ≤ 𝐾)
31	7, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐾)
32	27	lep1d 12197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
33	22, 27, 29, 31, 32	letrd 11416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑋 ≤ (𝐾 + 1))
35	21, 23, 24, 26, 34	letrd 11416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
36	12, 16, 18, 20, 35	elfzd 13552	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
37		sticksstones7.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → 𝐺:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
39	38	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
40	36, 39	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑋)) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
41	11, 40	fsumnn0cl 15769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
42	10, 41	nn0addcld 12589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℕ0)
43	2, 6, 7, 42	fvmptd 7023	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
44		1zzd 12646	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45		sticksstones7.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
46	45	nn0zd 12637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
47	46, 14	zaddcld 12724	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
48	42	nn0zd 12637	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ ℤ)
49		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ 1 = 1
50		1p0e1 12388	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
51	49, 50	eqtr4i 2766	. . . . 5 ⊢ 1 = (1 + 0)
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 = (1 + 0))
53		0red 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
54	41	nn0red 12586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
55	9	nnge1d 12312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑋)
56	41	nn0ge0d 12588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖))
57	28, 53, 22, 54, 55, 56	le2addd 11880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
58	52, 57	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)))
59	45	nn0red 12586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
60		fzfid 14011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
61	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
62	14	peano2zd 12723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
64		elfzelz 13561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
65	64	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
66	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
67	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
68	67, 66	readdcld 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
69	65	zred 12720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
70	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑋)
71	67	lep1d 12197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑋 ≤ (𝑋 + 1))
72	66, 67, 68, 70, 71	letrd 11416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ (𝑋 + 1))
73		elfzle1 13564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝑋 + 1) ≤ 𝑖)
75	66, 68, 69, 72, 74	letrd 11416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑖)
76		elfzle2 13565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
78	61, 63, 65, 75, 77	elfzd 13552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
79	37	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
80	79	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
81	78, 80	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
82	60, 81	fsumnn0cl 15769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0)
83	82	nn0ge0d 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
84	82	nn0red 12586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ∈ ℝ)
85	54, 84	addge01d 11849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))))
86	83, 85	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖)))
87	22	ltp1d 12196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < (𝑋 + 1))
88		fzdisj 13588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 < (𝑋 + 1) → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑋) ∩ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))) = ∅)
90	10	nn0zd 12637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
91	44, 62, 90, 55, 33	elfzd 13552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
92		fzsplit 13587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = ((1...𝑋) ∪ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))))
94		fzfid 14011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) ∈ Fin)
95		nn0cn 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
96	79, 95	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝐺‘𝑖) ∈ ℂ)
97	89, 93, 94, 96	fsumsplit 15774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ ((𝑋 + 1)...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖)))
98	86, 97	breqtrrd 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
99		sticksstones7.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖) = 𝑁)
100	99	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝐺‘𝑖))
101	98, 100	breqtrrd 5176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖) ≤ 𝑁)
102	22, 54, 27, 59, 31, 101	le2addd 11880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ≤ (𝐾 + 𝑁))
103	13	nn0cnd 12587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
104	45	nn0cnd 12587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
105	103, 104	addcomd 11461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
106	102, 105	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ≤ (𝑁 + 𝐾))
107	44, 47, 48, 58, 106	elfzd 13552	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + Σ𝑖 ∈ (1...𝑋)(𝐺‘𝑖)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
108	43, 107	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ...cfz 13544  Σcsu 15719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720

This theorem is referenced by:  sticksstones8  42135