MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climserle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climserle 15699
Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climserle.2 (𝜑𝑁𝑍)
climserle.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
climserle.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climserle.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climserle (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climserle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climserle.2 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
3 climserle.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
42, 1eleqtrdi 2851 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 12883 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climserle.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
81, 6, 7serfre 14072 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
98ffvelcdmda 7104 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
101peano2uzs 12944 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
11 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1211breq2d 5155 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
1312imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑘)) ↔ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
14 climserle.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
1514expcom 413 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑘)))
1613, 15vtoclga 3577 . . . . . 6 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
1716impcom 407 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1810, 17sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1911eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
2019imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)))
217expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 → (𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
2220, 21vtoclga 3577 . . . . . . 7 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
2322impcom 407 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
2410, 23sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
259, 24addge01d 11851 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
2618, 25mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
27 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2827, 1eleqtrdi 2851 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
29 seqp1 14057 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
3028, 29syl 17 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
3126, 30breqtrrd 5171 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
321, 2, 3, 9, 31climub 15698 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  seqcseq 14042  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  isumrpcl  15879  ege2le3  16126  prmreclem6  16959  ioombl1lem4  25596  rge0scvg  33948
  Copyright terms: Public domain W3C validator