Theorem climserle 15641

Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climserle.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
climserle.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
climserle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climserle.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climserle	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climserle

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2ser.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climserle.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		climserle.3	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4	2, 1	eleqtrdi 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzel2 12857	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climserle.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
8	1, 6, 7	serfre 14028	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
9	8	ffvelcdmda 7089	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
10	1	peano2uzs 12916	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
11		fveq2 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
12	11	breq2d 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (0 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
13	12	imbi2d 339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
14		climserle.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
15	14	expcom 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑘)))
16	13, 15	vtoclga 3555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
17	16	impcom 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18	10, 17	sylan2 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
19	11	eleq1d 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
20	19	imbi2d 339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)))
21	7	expcom 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
22	20, 21	vtoclga 3555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
23	22	impcom 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
24	10, 23	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
25	9, 24	addge01d 11832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
26	18, 25	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
27		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
28	27, 1	eleqtrdi 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29		seqp1 14013	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
31	26, 30	breqtrrd 5171	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
32	1, 2, 3, 9, 31	climub 15640	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ≤ cle 11279  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  seqcseq 13998   ⇝ cli 15460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465

This theorem is referenced by:  isumrpcl  15821  ege2le3  16066  prmreclem6  16889  ioombl1lem4  25508  rge0scvg  33607