MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climserle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climserle 15615
Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climserle.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
climserle.3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
climserle.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
climserle.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
climserle (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍

Proof of Theorem climserle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climserle.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
3 climserle.3 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
42, 1eleqtrdi 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5 eluzel2 12831 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
64, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 climserle.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
81, 6, 7serfre 14002 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„)
98ffvelcdmda 7080 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
101peano2uzs 12890 . . . . 5 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
11 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
1211breq2d 5153 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
1312imbi2d 340 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) ↔ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))))
14 climserle.5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
1514expcom 413 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
1613, 15vtoclga 3560 . . . . . 6 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 β†’ (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
1716impcom 407 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
1810, 17sylan2 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
1911eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
2019imbi2d 340 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)))
217expcom 413 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ))
2220, 21vtoclga 3560 . . . . . . 7 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
2322impcom 407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
2410, 23sylan2 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
259, 24addge01d 11806 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))))
2618, 25mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
27 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2827, 1eleqtrdi 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
29 seqp1 13987 . . . 4 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
3028, 29syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
3126, 30breqtrrd 5169 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) ≀ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜(𝑗 + 1)))
321, 2, 3, 9, 31climub 15614 1 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≀ cle 11253  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  seqcseq 13972   ⇝ cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439
This theorem is referenced by:  isumrpcl  15795  ege2le3  16040  prmreclem6  16863  ioombl1lem4  25445  rge0scvg  33459
  Copyright terms: Public domain W3C validator