Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple3 43695
Description: Show that ๐ด is less than ๐ต by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
xralrple3.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
xralrple3.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
xralrple3.g (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
xralrple3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem xralrple3
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple3.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
21ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
3 xralrple3.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43rexrd 11210 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
54ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
63ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7 xralrple3.c . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
87ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
9 rpre 12928 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
109adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
118, 10remulcld 11190 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
126, 11readdcld 11189 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
1312rexrd 11210 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„*)
14 simplr 768 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
157adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
169adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
17 xralrple3.g . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
1817adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
19 rpge0 12933 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
2019adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
2115, 16, 18, 20mulge0d 11737 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘ฅ))
223adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2315, 16remulcld 11190 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2422, 23addge01d 11748 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โ†” ๐ต โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
2521, 24mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2625adantlr 714 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
272, 5, 13, 14, 26xrletrd 13087 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2827ralrimiva 3140 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2928ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
30 1rp 12924 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
31 oveq2 7366 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = (๐ถ ยท 1))
3231oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
3332breq2d 5118 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1))))
3433rspcva 3578 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
3530, 34mpan 689 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
3635ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
37 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ถ ยท 1) = (0 ยท 1))
38 0cn 11152 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„‚
3938mulid1i 11164 . . . . . . . . . . 11 (0 ยท 1) = 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = 0 โ†’ (0 ยท 1) = 0)
4137, 40eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ถ ยท 1) = 0)
4241oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = (๐ต + 0))
4342adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = (๐ต + 0))
443recnd 11188 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4544adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4645addid1d 11360 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + 0) = ๐ต)
4743, 46eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = ๐ต)
4847adantlr 714 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = ๐ต)
4936, 48breqtrd 5132 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
50 neqne 2948 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐ถ = 0 โ†’ ๐ถ โ‰  0)
5150adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
527adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
53 0red 11163 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
5417adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
55 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
5653, 52, 54, 55leneltd 11314 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ถ)
5752, 56elrpd 12959 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
5851, 57syldan 592 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
5958adantlr 714 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
60 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
61 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
6260, 61rpdivcld 12979 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
6362adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
64 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
65 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)))
6665oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ถ) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
6766breq2d 5118 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)))))
6867rspcva 3578 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ / ๐ถ) โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
6963, 64, 68syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
7069adantlll 717 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
7160rpcnd 12964 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
7261rpcnd 12964 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7361rpne0d 12967 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
7471, 72, 73divcan2d 11938 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)) = ๐‘ฆ)
7574adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)) = ๐‘ฆ)
7675oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))) = (๐ต + ๐‘ฆ))
7770, 76breqtrd 5132 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
7877ralrimiva 3140 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
79 xralrple 13130 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
801, 3, 79syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
8180ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
8278, 81mpbird 257 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
8359, 82syldan 592 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
8449, 83pm2.61dan 812 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
8584ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
8629, 85impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  โ„*cxr 11193   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  โ„+crp 12920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator