Theorem xralrple3 45654

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xralrple3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
xralrple3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
xralrple3.g	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xralrple3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple3.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xralrple3.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	4	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	3	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		xralrple3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		rpre 12918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	8, 10	remulcld 11166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
12	6, 11	readdcld 11165	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ*)
14		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵)
15	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		xralrple3.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐶)
19		rpge0 12923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
20	19	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
21	15, 16, 18, 20	mulge0d 11718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐶 · 𝑥))
22	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	15, 16	remulcld 11166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
24	22, 23	addge01d 11729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐶 · 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
25	21, 24	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
26	25	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
27	2, 5, 13, 14, 26	xrletrd 13080	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
28	27	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
30		1rp 12913	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
31		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 1))
32	31	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · 1)))
33	32	breq2d 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))))
34	33	rspcva 3575	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
35	30, 34	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
36	35	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
37		oveq1 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = (0 · 1))
38		0cn 11128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
39	38	mulridi 11140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · 1) = 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → (0 · 1) = 0)
41	37, 40	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = 0)
42	41	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
44	3	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	addridd 11337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
47	43, 46	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
48	47	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
49	36, 48	breqtrd 5125	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
50		neqne 2941	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 = 0 → 𝐶 ≠ 0)
51	50	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ≠ 0)
52	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
53		0red 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
54	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐶)
55		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
56	53, 52, 54, 55	leneltd 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 < 𝐶)
57	52, 56	elrpd 12950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
58	51, 57	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
59	58	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
60		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
61		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
62	60, 61	rpdivcld 12970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
63	62	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
64		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
65		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))
66	65	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
67	66	breq2d 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))))
68	67	rspcva 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
69	63, 64, 68	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
70	69	adantlll 719	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
71	60	rpcnd 12955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
72	61	rpcnd 12955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
73	61	rpne0d 12958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
74	71, 72, 73	divcan2d 11923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
75	74	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
76	75	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))) = (𝐵 + 𝑦))
77	70, 76	breqtrd 5125	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
78	77	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
79		xralrple 13124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
80	1, 3, 79	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
81	80	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
82	78, 81	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵)
83	59, 82	syldan 592	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
84	49, 83	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
85	84	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ 𝐵))
86	29, 85	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℝ⁺crp 12909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910

This theorem is referenced by: (None)