Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple3 44384
Description: Show that ๐ด is less than ๐ต by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
xralrple3.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
xralrple3.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
xralrple3.g (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
xralrple3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem xralrple3
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple3.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
21ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
3 xralrple3.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43rexrd 11269 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
54ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
63ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7 xralrple3.c . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
87ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
9 rpre 12987 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
109adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
118, 10remulcld 11249 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
126, 11readdcld 11248 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
1312rexrd 11269 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„*)
14 simplr 766 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
157adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
169adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
17 xralrple3.g . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
19 rpge0 12992 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
2019adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
2115, 16, 18, 20mulge0d 11796 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘ฅ))
223adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2315, 16remulcld 11249 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2422, 23addge01d 11807 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โ†” ๐ต โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
2521, 24mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2625adantlr 712 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
272, 5, 13, 14, 26xrletrd 13146 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2827ralrimiva 3145 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2928ex 412 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
30 1rp 12983 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
31 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = (๐ถ ยท 1))
3231oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
3332breq2d 5161 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1))))
3433rspcva 3611 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
3530, 34mpan 687 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
3635ad2antlr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
37 oveq1 7419 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ถ ยท 1) = (0 ยท 1))
38 0cn 11211 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„‚
3938mulridi 11223 . . . . . . . . . . 11 (0 ยท 1) = 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = 0 โ†’ (0 ยท 1) = 0)
4137, 40eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ถ ยท 1) = 0)
4241oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = (๐ต + 0))
4342adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = (๐ต + 0))
443recnd 11247 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4544adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4645addridd 11419 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + 0) = ๐ต)
4743, 46eqtrd 2771 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = ๐ต)
4847adantlr 712 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = ๐ต)
4936, 48breqtrd 5175 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
50 neqne 2947 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐ถ = 0 โ†’ ๐ถ โ‰  0)
5150adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
527adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
53 0red 11222 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
5417adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
55 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
5653, 52, 54, 55leneltd 11373 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ถ)
5752, 56elrpd 13018 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
5851, 57syldan 590 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
5958adantlr 712 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
60 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
61 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
6260, 61rpdivcld 13038 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
6362adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
64 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
65 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)))
6665oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ถ) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
6766breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)))))
6867rspcva 3611 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ / ๐ถ) โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
6963, 64, 68syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
7069adantlll 715 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
7160rpcnd 13023 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
7261rpcnd 13023 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7361rpne0d 13026 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
7471, 72, 73divcan2d 11997 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)) = ๐‘ฆ)
7574adantll 711 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)) = ๐‘ฆ)
7675oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))) = (๐ต + ๐‘ฆ))
7770, 76breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
7877ralrimiva 3145 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
79 xralrple 13189 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
801, 3, 79syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
8180ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
8278, 81mpbird 256 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
8359, 82syldan 590 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
8449, 83pm2.61dan 810 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
8584ex 412 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
8629, 85impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118  โ„*cxr 11252   โ‰ค cle 11254   / cdiv 11876  โ„+crp 12979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator