Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple3 44019
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple3.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
xralrple3.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
xralrple3.g (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
xralrple3 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple3.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 xralrple3.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 11260 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 xralrple3.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
87ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 rpre 12978 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
109adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
118, 10remulcld 11240 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
126, 11readdcld 11239 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1312rexrd 11260 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ*)
14 simplr 768 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
157adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
169adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 xralrple3.g . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
1817adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐶)
19 rpge0 12983 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
2019adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
2115, 16, 18, 20mulge0d 11787 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐶 · 𝑥))
223adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
2315, 16remulcld 11240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
2422, 23addge01d 11798 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐶 · 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
2521, 24mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2625adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
272, 5, 13, 14, 26xrletrd 13137 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2827ralrimiva 3147 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
2928ex 414 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
30 1rp 12974 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
31 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 1))
3231oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3332breq2d 5159 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))))
3433rspcva 3610 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3530, 34mpan 689 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
3635ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
37 oveq1 7411 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = (0 · 1))
38 0cn 11202 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
3938mulridi 11214 . . . . . . . . . . 11 (0 · 1) = 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → (0 · 1) = 0)
4137, 40eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = 0)
4241oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
4342adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
443recnd 11238 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4544adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
4645addridd 11410 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
4743, 46eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
4847adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
4936, 48breqtrd 5173 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴𝐵)
50 neqne 2949 . . . . . . . 8 𝐶 = 0 → 𝐶 ≠ 0)
5150adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ≠ 0)
527adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
53 0red 11213 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
5417adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐶)
55 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
5653, 52, 54, 55leneltd 11364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 0 < 𝐶)
5752, 56elrpd 13009 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5851, 57syldan 592 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5958adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
60 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
61 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
6260, 61rpdivcld 13029 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
6362adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
64 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
65 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))
6665oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
6766breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))))
6867rspcva 3610 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
6963, 64, 68syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
7069adantlll 717 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
7160rpcnd 13014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
7261rpcnd 13014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
7361rpne0d 13017 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
7471, 72, 73divcan2d 11988 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
7574adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
7675oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))) = (𝐵 + 𝑦))
7770, 76breqtrd 5173 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
7877ralrimiva 3147 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
79 xralrple 13180 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
801, 3, 79syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
8180ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
8278, 81mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
8359, 82syldan 592 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐴𝐵)
8449, 83pm2.61dan 812 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴𝐵)
8584ex 414 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴𝐵))
8629, 85impbid 211 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  *cxr 11243  cle 11245   / cdiv 11867  +crp 12970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator