Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple3 44163
Description: Show that ๐ด is less than ๐ต by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
xralrple3.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
xralrple3.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
xralrple3.g (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
xralrple3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem xralrple3
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple3.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
21ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
3 xralrple3.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43rexrd 11266 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
54ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
63ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7 xralrple3.c . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
87ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
9 rpre 12984 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
109adantl 482 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
118, 10remulcld 11246 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
126, 11readdcld 11245 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
1312rexrd 11266 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„*)
14 simplr 767 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
157adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
169adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
17 xralrple3.g . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
1817adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
19 rpge0 12989 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
2019adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฅ)
2115, 16, 18, 20mulge0d 11793 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘ฅ))
223adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2315, 16remulcld 11246 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2422, 23addge01d 11804 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โ†” ๐ต โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
2521, 24mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2625adantlr 713 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
272, 5, 13, 14, 26xrletrd 13143 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2827ralrimiva 3146 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2928ex 413 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
30 1rp 12980 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
31 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = (๐ถ ยท 1))
3231oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
3332breq2d 5160 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1))))
3433rspcva 3610 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
3530, 34mpan 688 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
3635ad2antlr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท 1)))
37 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ถ ยท 1) = (0 ยท 1))
38 0cn 11208 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„‚
3938mulridi 11220 . . . . . . . . . . 11 (0 ยท 1) = 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = 0 โ†’ (0 ยท 1) = 0)
4137, 40eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ถ ยท 1) = 0)
4241oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐ถ = 0 โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = (๐ต + 0))
4342adantl 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = (๐ต + 0))
443recnd 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4544adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4645addridd 11416 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + 0) = ๐ต)
4743, 46eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = ๐ต)
4847adantlr 713 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ = 0) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท 1)) = ๐ต)
4936, 48breqtrd 5174 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
50 neqne 2948 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐ถ = 0 โ†’ ๐ถ โ‰  0)
5150adantl 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
527adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
53 0red 11219 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
5417adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
55 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
5653, 52, 54, 55leneltd 11370 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ 0 < ๐ถ)
5752, 56elrpd 13015 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ โ‰  0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
5851, 57syldan 591 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
5958adantlr 713 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
60 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
61 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
6260, 61rpdivcld 13035 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
6362adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ / ๐ถ) โˆˆ โ„+)
64 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
65 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ถ) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)))
6665oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ถ) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) = (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
6766breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ / ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)))))
6867rspcva 3610 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ / ๐ถ) โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
6963, 64, 68syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
7069adantlll 716 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))))
7160rpcnd 13020 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
7261rpcnd 13020 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
7361rpne0d 13023 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
7471, 72, 73divcan2d 11994 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)) = ๐‘ฆ)
7574adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ)) = ๐‘ฆ)
7675oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต + (๐ถ ยท (๐‘ฆ / ๐ถ))) = (๐ต + ๐‘ฆ))
7770, 76breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
7877ralrimiva 3146 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ))
79 xralrple 13186 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
801, 3, 79syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
8180ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐‘ฆ)))
8278, 81mpbird 256 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
8359, 82syldan 591 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โˆง ยฌ ๐ถ = 0) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
8449, 83pm2.61dan 811 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
8584ex 413 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
8629, 85impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ๐ด โ‰ค (๐ต + (๐ถ ยท ๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11249   โ‰ค cle 11251   / cdiv 11873  โ„+crp 12976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator