Theorem xralrple3 44019

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xralrple3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
xralrple3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
xralrple3.g	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xralrple3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple3.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xralrple3.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	4	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	3	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		xralrple3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		rpre 12978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	8, 10	remulcld 11240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
12	6, 11	readdcld 11239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ*)
14		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵)
15	7	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	9	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		xralrple3.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
18	17	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐶)
19		rpge0 12983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
20	19	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
21	15, 16, 18, 20	mulge0d 11787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐶 · 𝑥))
22	3	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	15, 16	remulcld 11240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
24	22, 23	addge01d 11798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐶 · 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
25	21, 24	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
26	25	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
27	2, 5, 13, 14, 26	xrletrd 13137	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
28	27	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
29	28	ex 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
30		1rp 12974	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
31		oveq2 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 1))
32	31	oveq2d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · 1)))
33	32	breq2d 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))))
34	33	rspcva 3610	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
35	30, 34	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
36	35	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
37		oveq1 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = (0 · 1))
38		0cn 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
39	38	mulridi 11214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · 1) = 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → (0 · 1) = 0)
41	37, 40	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = 0)
42	41	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
43	42	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
44	3	recnd 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	addridd 11410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
47	43, 46	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
48	47	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
49	36, 48	breqtrd 5173	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
50		neqne 2949	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 = 0 → 𝐶 ≠ 0)
51	50	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ≠ 0)
52	7	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
53		0red 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
54	17	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐶)
55		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
56	53, 52, 54, 55	leneltd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 < 𝐶)
57	52, 56	elrpd 13009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
58	51, 57	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
59	58	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
60		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
61		simpl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
62	60, 61	rpdivcld 13029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
63	62	adantll 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
64		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
65		oveq2 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))
66	65	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
67	66	breq2d 5159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))))
68	67	rspcva 3610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
69	63, 64, 68	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
70	69	adantlll 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
71	60	rpcnd 13014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
72	61	rpcnd 13014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
73	61	rpne0d 13017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
74	71, 72, 73	divcan2d 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
75	74	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
76	75	oveq2d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))) = (𝐵 + 𝑦))
77	70, 76	breqtrd 5173	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
78	77	ralrimiva 3147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
79		xralrple 13180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
80	1, 3, 79	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
81	80	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
82	78, 81	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵)
83	59, 82	syldan 592	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
84	49, 83	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
85	84	ex 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ 𝐵))
86	29, 85	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245   / cdiv 11867  ℝ⁺crp 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971

This theorem is referenced by: (None)