Theorem xralrple3 45324

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xralrple3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
xralrple3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
xralrple3.g	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xralrple3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple3.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xralrple3.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		xralrple3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
9		rpre 13041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
11	8, 10	remulcld 11289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
12	6, 11	readdcld 11288	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11309	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ*)
14		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵)
15	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
16	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		xralrple3.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐶)
19		rpge0 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
20	19	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
21	15, 16, 18, 20	mulge0d 11838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐶 · 𝑥))
22	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	15, 16	remulcld 11289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ)
24	22, 23	addge01d 11849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐶 · 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
25	21, 24	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
26	25	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
27	2, 5, 13, 14, 26	xrletrd 13201	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
28	27	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
29	28	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))
30		1rp 13036	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
31		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 1))
32	31	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · 1)))
33	32	breq2d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))))
34	33	rspcva 3620	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
35	30, 34	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
36	35	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))
37		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = (0 · 1))
38		0cn 11251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
39	38	mulridi 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · 1) = 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → (0 · 1) = 0)
41	37, 40	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = 0)
42	41	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0))
44	3	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	addridd 11459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
47	43, 46	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
48	47	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵)
49	36, 48	breqtrd 5174	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
50		neqne 2946	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 = 0 → 𝐶 ≠ 0)
51	50	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ≠ 0)
52	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ)
53		0red 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
54	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐶)
55		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0)
56	53, 52, 54, 55	leneltd 11413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 < 𝐶)
57	52, 56	elrpd 13072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
58	51, 57	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
59	58	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈ ℝ+)
60		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
61		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
62	60, 61	rpdivcld 13092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
63	62	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+)
64		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))
65		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))
66	65	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
67	66	breq2d 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))))
68	67	rspcva 3620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
69	63, 64, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
70	69	adantlll 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))
71	60	rpcnd 13077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
72	61	rpcnd 13077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
73	61	rpne0d 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
74	71, 72, 73	divcan2d 12043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
75	74	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦)
76	75	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))) = (𝐵 + 𝑦))
77	70, 76	breqtrd 5174	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
78	77	ralrimiva 3144	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
79		xralrple 13244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
80	1, 3, 79	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
81	80	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
82	78, 81	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵)
83	59, 82	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ 𝐵)
84	49, 83	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
85	84	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ 𝐵))
86	29, 85	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033

This theorem is referenced by: (None)