| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | xralrple3.a |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 2 | 1 | ad2antrr 726 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
| 3 | | xralrple3.b |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 4 | 3 | rexrd 11311 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 5 | 4 | ad2antrr 726 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 6 | 3 | ad2antrr 726 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈
ℝ) |
| 7 | | xralrple3.c |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 8 | 7 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈
ℝ) |
| 9 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℝ+
→ 𝑥 ∈
ℝ) |
| 10 | 9 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 11 | 8, 10 | remulcld 11291 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ) |
| 12 | 6, 11 | readdcld 11290 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
| 13 | 12 | rexrd 11311 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∈
ℝ*) |
| 14 | | simplr 769 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵) |
| 15 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈
ℝ) |
| 16 | 9 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 17 | | xralrple3.g |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶) |
| 18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤
𝐶) |
| 19 | | rpge0 13048 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℝ+
→ 0 ≤ 𝑥) |
| 20 | 19 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤
𝑥) |
| 21 | 15, 16, 18, 20 | mulge0d 11840 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤
(𝐶 · 𝑥)) |
| 22 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈
ℝ) |
| 23 | 15, 16 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℝ) |
| 24 | 22, 23 | addge01d 11851 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤
(𝐶 · 𝑥) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))) |
| 25 | 21, 24 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) |
| 26 | 25 | adantlr 715 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) |
| 27 | 2, 5, 13, 14, 26 | xrletrd 13204 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) |
| 28 | 27 | ralrimiva 3146 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) |
| 29 | 28 | ex 412 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))) |
| 30 | | 1rp 13038 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
| 31 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 1 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 1)) |
| 32 | 31 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 1 → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · 1))) |
| 33 | 32 | breq2d 5155 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1)))) |
| 34 | 33 | rspcva 3620 |
. . . . . . 7
⊢ ((1
∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))) |
| 35 | 30, 34 | mpan 690 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑥 ∈
ℝ+ 𝐴 ≤
(𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))) |
| 36 | 35 | ad2antlr 727 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 1))) |
| 37 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = (0 ·
1)) |
| 38 | | 0cn 11253 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 0 ∈
ℂ |
| 39 | 38 | mulridi 11265 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0
· 1) = 0 |
| 40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 = 0 → (0 · 1) =
0) |
| 41 | 37, 40 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 · 1) = 0) |
| 42 | 41 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐶 = 0 → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0)) |
| 43 | 42 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = (𝐵 + 0)) |
| 44 | 3 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 45 | 44 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 46 | 45 | addridd 11461 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + 0) = 𝐵) |
| 47 | 43, 46 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵) |
| 48 | 47 | adantlr 715 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 + (𝐶 · 1)) = 𝐵) |
| 49 | 36, 48 | breqtrd 5169 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ 𝐵) |
| 50 | | neqne 2948 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
𝐶 = 0 → 𝐶 ≠ 0) |
| 51 | 50 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ≠ 0) |
| 52 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℝ) |
| 53 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 ∈
ℝ) |
| 54 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐶) |
| 55 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ≠ 0) |
| 56 | 53, 52, 54, 55 | leneltd 11415 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 0 < 𝐶) |
| 57 | 52, 56 | elrpd 13074 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 0) → 𝐶 ∈
ℝ+) |
| 58 | 51, 57 | syldan 591 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈
ℝ+) |
| 59 | 58 | adantlr 715 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐶 ∈
ℝ+) |
| 60 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+) |
| 61 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) → 𝐶 ∈
ℝ+) |
| 62 | 60, 61 | rpdivcld 13094 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) → (𝑦 / 𝐶) ∈
ℝ+) |
| 63 | 62 | adantll 714 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((∀𝑥 ∈
ℝ+ 𝐴 ≤
(𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (𝑦 / 𝐶) ∈
ℝ+) |
| 64 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((∀𝑥 ∈
ℝ+ 𝐴 ≤
(𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑥 ∈
ℝ+ 𝐴 ≤
(𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) |
| 65 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))) |
| 66 | 65 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) = (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))) |
| 67 | 66 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (𝑦 / 𝐶) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))))) |
| 68 | 67 | rspcva 3620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑦 / 𝐶) ∈ ℝ+ ∧
∀𝑥 ∈
ℝ+ 𝐴 ≤
(𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))) |
| 69 | 63, 64, 68 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((∀𝑥 ∈
ℝ+ 𝐴 ≤
(𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))) |
| 70 | 69 | adantlll 718 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)))) |
| 71 | 60 | rpcnd 13079 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ) |
| 72 | 61 | rpcnd 13079 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 73 | 61 | rpne0d 13082 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) → 𝐶 ≠ 0) |
| 74 | 71, 72, 73 | divcan2d 12045 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈
ℝ+) → (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦) |
| 75 | 74 | adantll 714 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (𝐶 · (𝑦 / 𝐶)) = 𝑦) |
| 76 | 75 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ (𝐵 + (𝐶 · (𝑦 / 𝐶))) = (𝐵 + 𝑦)) |
| 77 | 70, 76 | breqtrd 5169 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
→ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)) |
| 78 | 77 | ralrimiva 3146 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) →
∀𝑦 ∈
ℝ+ 𝐴 ≤
(𝐵 + 𝑦)) |
| 79 | | xralrple 13247 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈ ℝ)
→ (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+
𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))) |
| 80 | 1, 3, 79 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))) |
| 81 | 80 | ad2antrr 726 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))) |
| 82 | 78, 81 | mpbird 257 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵) |
| 83 | 59, 82 | syldan 591 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) ∧ ¬ 𝐶 = 0) → 𝐴 ≤ 𝐵) |
| 84 | 49, 83 | pm2.61dan 813 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥))) → 𝐴 ≤ 𝐵) |
| 85 | 84 | ex 412 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+
𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)) → 𝐴 ≤ 𝐵)) |
| 86 | 29, 85 | impbid 212 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝐶 · 𝑥)))) |