Theorem absrele 14670

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its real part. (Contributed by NM, 1-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
absrele	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absrele

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 14472	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	sqge0d 13615	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2))
3		recl 14471	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	resqcld 13614	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
5	1	resqcld 13614	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
6	4, 5	addge01d 11230	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((ℑ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
7	2, 6	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
8	3	sqge0d 13615	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2))
9	4, 5	readdcld 10672	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
10	4, 5, 8, 2	addge0d 11218	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
11		sqrtle 14622	. . . 4 ⊢ (((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((ℜ‘𝐴)↑2)) ∧ ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))) → (((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ↔ (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))))
12	4, 8, 9, 10, 11	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) ≤ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) ↔ (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))))
13	7, 12	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)) ≤ (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
14		absre 14663	. . 3 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) = (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)))
15	3, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) = (√‘((ℜ‘𝐴)↑2)))
16		absval2 14646	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2))))
17	13, 15, 16	3brtr4d 5100	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539   + caddc 10542   ≤ cle 10678  2c2 11695  ↑cexp 13432  ℜcre 14458  ℑcim 14459  √csqrt 14594  abscabs 14595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597

This theorem is referenced by:  absimle  14671  releabs  14683  recn2  14959  caucvgr  15034  cos01bnd  15541  cnheiborlem  23560  lgamgulmlem2  25609  bddiblnc  34964  cntotbnd  35076