Theorem fsumless 16004

Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fsumless	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		difss 4075	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐴
3		ssfi 9224	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
5		eldifi 4070	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶) → 𝑘 ∈ 𝐴)
6		fsumge0.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		fsumge0.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
9	5, 8	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
10	4, 7, 9	fsumge0 16003	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵)
11		fsumless.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
12	1, 11	ssfid 9296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
13	11	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝑘 ∈ 𝐴)
14	13, 6	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	12, 14	fsumrecl 15941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ ℝ)
16	4, 7	fsumrecl 15941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵 ∈ ℝ)
17	15, 16	addge01d 11942	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵)))
18	10, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵))
19		disjdif 4429	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∖ 𝐶)) = ∅
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∖ 𝐶)) = ∅)
21		undif 4441	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐶 ∪ (𝐴 ∖ 𝐶)) = 𝐴)
22	11, 21	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ (𝐴 ∖ 𝐶)) = 𝐴)
23	22	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴 ∖ 𝐶)))
24	6	recnd 11374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	20, 23, 1, 24	fsumsplit 15948	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵))
26	18, 25	breqtrrd 5137	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  (class class class)co 7449  Fincfn 9009  ℝcr 11236  0cc0 11237   + caddc 11240   ≤ cle 11381  Σcsu 15894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-ico 13520  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-sum 15895

This theorem is used by:  fsumge1  16005  fsum00  16006  ovolicc2lem4  25885  fsumharmonic  27385  chtwordi  27529  chpwordi  27530  chtlepsi  27579  chtublem  27584  perfectlem2  27603  chtppilimlem1  27846  vmadivsumb  27856  rplogsumlem2  27858  rpvmasumlem  27860  dchrvmasumiflem1  27874  rplogsum  27900  dirith2  27901  mulog2sumlem2  27908  selbergb  27922  selberg2b  27925  chpdifbndlem1  27926  logdivbnd  27929  selberg3lem2  27931  pntrsumbnd  27939  pntlemf  27978  fsumiunle  33506  esumpcvgval  34814  eulerpartlemgc  35098  reprinfz1  35355  hgt750lemb  35389  fsumlessf  46856  sge0fsum  47664  sge0xaddlem1  47710  sge0seq  47723  carageniuncllem2  47799  perfectALTVlem2  49087