MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumless 15360
Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.4 (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
fsumless (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumless
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 difss 4046 . . . . 5 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
3 ssfi 8851 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
5 eldifi 4041 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑘𝐴)
6 fsumge0.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6sylan2 596 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 fsumge0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
95, 8sylan2 596 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
104, 7, 9fsumge0 15359 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)
11 fsumless.4 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
121, 11ssfid 8898 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
1311sselda 3901 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝑘𝐴)
1413, 6syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
1512, 14fsumrecl 15298 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ∈ ℝ)
164, 7fsumrecl 15298 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ∈ ℝ)
1715, 16addge01d 11420 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ↔ Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)))
1810, 17mpbid 235 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
19 disjdif 4386 . . . 4 (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅
2019a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅)
21 undif 4396 . . . . 5 (𝐶𝐴 ↔ (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)) = 𝐴)
2211, 21sylib 221 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)) = 𝐴)
2322eqcomd 2743 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)))
246recnd 10861 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2520, 23, 1, 24fsumsplit 15305 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
2618, 25breqtrrd 5081 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cdif 3863  cun 3864  cin 3865  wss 3866  c0 4237   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  cr 10728  0cc0 10729   + caddc 10732  cle 10868  Σcsu 15249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250
This theorem is referenced by:  fsumge1  15361  fsum00  15362  ovolicc2lem4  24417  fsumharmonic  25894  chtwordi  26038  chpwordi  26039  chtlepsi  26087  chtublem  26092  perfectlem2  26111  chtppilimlem1  26354  vmadivsumb  26364  rplogsumlem2  26366  rpvmasumlem  26368  dchrvmasumiflem1  26382  rplogsum  26408  dirith2  26409  mulog2sumlem2  26416  selbergb  26430  selberg2b  26433  chpdifbndlem1  26434  logdivbnd  26437  selberg3lem2  26439  pntrsumbnd  26447  pntlemf  26486  fsumiunle  30863  esumpcvgval  31758  eulerpartlemgc  32041  reprinfz1  32314  hgt750lemb  32348  fsumlessf  42793  sge0fsum  43600  sge0xaddlem1  43646  sge0seq  43659  carageniuncllem2  43735  perfectALTVlem2  44847
  Copyright terms: Public domain W3C validator