Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumless 15146
 Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.4 (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
fsumless (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumless
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 difss 4059 . . . . 5 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
3 ssfi 8725 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
5 eldifi 4054 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑘𝐴)
6 fsumge0.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6sylan2 595 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 fsumge0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
95, 8sylan2 595 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
104, 7, 9fsumge0 15145 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)
11 fsumless.4 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
121, 11ssfid 8728 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
1311sselda 3915 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝑘𝐴)
1413, 6syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
1512, 14fsumrecl 15086 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ∈ ℝ)
164, 7fsumrecl 15086 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ∈ ℝ)
1715, 16addge01d 11220 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ↔ Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)))
1810, 17mpbid 235 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
19 disjdif 4379 . . . 4 (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅
2019a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅)
21 undif 4388 . . . . 5 (𝐶𝐴 ↔ (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)) = 𝐴)
2211, 21sylib 221 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)) = 𝐴)
2322eqcomd 2804 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)))
246recnd 10661 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2520, 23, 1, 24fsumsplit 15092 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
2618, 25breqtrrd 5059 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5031  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  ℝcr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532   ≤ cle 10668  Σcsu 15037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-ico 12735  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038 This theorem is referenced by:  fsumge1  15147  fsum00  15148  ovolicc2lem4  24134  fsumharmonic  25607  chtwordi  25751  chpwordi  25752  chtlepsi  25800  chtublem  25805  perfectlem2  25824  chtppilimlem1  26067  vmadivsumb  26077  rplogsumlem2  26079  rpvmasumlem  26081  dchrvmasumiflem1  26095  rplogsum  26121  dirith2  26122  mulog2sumlem2  26129  selbergb  26143  selberg2b  26146  chpdifbndlem1  26147  logdivbnd  26150  selberg3lem2  26152  pntrsumbnd  26160  pntlemf  26199  fsumiunle  30581  esumpcvgval  31462  eulerpartlemgc  31745  reprinfz1  32018  hgt750lemb  32052  fsumlessf  42262  sge0fsum  43069  sge0xaddlem1  43115  sge0seq  43128  carageniuncllem2  43204  perfectALTVlem2  44283
 Copyright terms: Public domain W3C validator