Theorem fsumless 15883

Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fsumless	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumless

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		difss 4083	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐴
3		ssfi 9167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
5		eldifi 4078	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶) → 𝑘 ∈ 𝐴)
6		fsumge0.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		fsumge0.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
9	5, 8	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
10	4, 7, 9	fsumge0 15882	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵)
11		fsumless.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
12	1, 11	ssfid 9239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
13	11	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝑘 ∈ 𝐴)
14	13, 6	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	12, 14	fsumrecl 15820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ ℝ)
16	4, 7	fsumrecl 15820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵 ∈ ℝ)
17	15, 16	addge01d 11826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵)))
18	10, 17	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵))
19		disjdif 4426	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∖ 𝐶)) = ∅
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∖ 𝐶)) = ∅)
21		undif 4438	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐶 ∪ (𝐴 ∖ 𝐶)) = 𝐴)
22	11, 21	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ (𝐴 ∖ 𝐶)) = 𝐴)
23	22	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴 ∖ 𝐶)))
24	6	recnd 11261	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	20, 23, 1, 24	fsumsplit 15827	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵))
26	18, 25	breqtrrd 5133	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℝcr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127   ≤ cle 11268  Σcsu 15773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774

This theorem is used by:  fsumge1  15884  fsum00  15885  ovolicc2lem4  25748  fsumharmonic  27248  chtwordi  27392  chpwordi  27393  chtlepsi  27442  chtublem  27447  perfectlem2  27466  chtppilimlem1  27709  vmadivsumb  27719  rplogsumlem2  27721  rpvmasumlem  27723  dchrvmasumiflem1  27737  rplogsum  27763  dirith2  27764  mulog2sumlem2  27771  selbergb  27785  selberg2b  27788  chpdifbndlem1  27789  logdivbnd  27792  selberg3lem2  27794  pntrsumbnd  27802  pntlemf  27841  fsumiunle  33299  esumpcvgval  34588  eulerpartlemgc  34873  reprinfz1  35130  hgt750lemb  35164  fsumlessf  46407  sge0fsum  47215  sge0xaddlem1  47261  sge0seq  47274  carageniuncllem2  47350  perfectALTVlem2  48638