MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumless 15139
Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.4 (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
fsumless (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumless
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 difss 4105 . . . . 5 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
3 ssfi 8726 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
5 eldifi 4100 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑘𝐴)
6 fsumge0.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 fsumge0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
95, 8sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
104, 7, 9fsumge0 15138 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)
11 fsumless.4 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
121, 11ssfid 8729 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
1311sselda 3964 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝑘𝐴)
1413, 6syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
1512, 14fsumrecl 15079 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ∈ ℝ)
164, 7fsumrecl 15079 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ∈ ℝ)
1715, 16addge01d 11216 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ↔ Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)))
1810, 17mpbid 233 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
19 disjdif 4417 . . . 4 (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅
2019a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅)
21 undif 4426 . . . . 5 (𝐶𝐴 ↔ (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)) = 𝐴)
2211, 21sylib 219 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)) = 𝐴)
2322eqcomd 2824 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)))
246recnd 10657 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2520, 23, 1, 24fsumsplit 15085 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
2618, 25breqtrrd 5085 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528  cle 10664  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  fsumge1  15140  fsum00  15141  ovolicc2lem4  24048  fsumharmonic  25516  chtwordi  25660  chpwordi  25661  chtlepsi  25709  chtublem  25714  perfectlem2  25733  chtppilimlem1  25976  vmadivsumb  25986  rplogsumlem2  25988  rpvmasumlem  25990  dchrvmasumiflem1  26004  rplogsum  26030  dirith2  26031  mulog2sumlem2  26038  selbergb  26052  selberg2b  26055  chpdifbndlem1  26056  logdivbnd  26059  selberg3lem2  26061  pntrsumbnd  26069  pntlemf  26108  fsumiunle  30472  esumpcvgval  31236  eulerpartlemgc  31519  reprinfz1  31792  hgt750lemb  31826  fsumlessf  41734  sge0fsum  42546  sge0xaddlem1  42592  sge0seq  42605  carageniuncllem2  42681  perfectALTVlem2  43764
  Copyright terms: Public domain W3C validator