Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple4 45323
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple4.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
xralrple4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
xralrple4 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple4.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 xralrple4.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 11309 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 rpre 13041 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 xralrple4.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
109nnnn0d 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
128, 11reexpcld 14200 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑁) ∈ ℝ)
1312adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑁) ∈ ℝ)
146, 13readdcld 11288 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) ∈ ℝ)
1514rexrd 11309 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) ∈ ℝ*)
16 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
17 rpge0 13046 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
1817adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
198, 11, 18expge0d 14201 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑥𝑁))
203adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
2120, 12addge01d 11849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝑥𝑁) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
2219, 21mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2322adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
242, 5, 15, 16, 23xrletrd 13201 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2524ralrimiva 3144 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2625ex 412 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
27 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
289nnrpd 13073 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2928rpreccld 13085 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
3029rpred 13075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3227, 31rpcxpcld 26790 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
3332adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
34 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
35 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝑥𝑁) = ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
3635oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) = (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
3736breq2d 5160 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))))
3837rspcva 3620 . . . . . . 7 (((𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
3933, 34, 38syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
4027rpcnd 13077 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
419adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
42 cxproot 26747 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
4340, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
4443oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
4544adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
4639, 45breqtrd 5174 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
4746ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
48 xralrple 13244 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
491, 3, 48syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
5049adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
5147, 50mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → 𝐴𝐵)
5251ex 412 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)) → 𝐴𝐵))
5326, 52impbid 212 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  +crp 13032  cexp 14099  𝑐ccxp 26612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator