Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple4 43856
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple4.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
xralrple4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
xralrple4 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple4.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 xralrple4.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 11246 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 rpre 12964 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 xralrple4.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
109nnnn0d 12514 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
128, 11reexpcld 14110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑁) ∈ ℝ)
1312adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑁) ∈ ℝ)
146, 13readdcld 11225 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) ∈ ℝ)
1514rexrd 11246 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) ∈ ℝ*)
16 simplr 767 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
17 rpge0 12969 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
1817adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
198, 11, 18expge0d 14111 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑥𝑁))
203adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
2120, 12addge01d 11784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝑥𝑁) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
2219, 21mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2322adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
242, 5, 15, 16, 23xrletrd 13123 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2524ralrimiva 3145 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2625ex 413 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
27 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
289nnrpd 12996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2928rpreccld 13008 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
3029rpred 12998 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3227, 31rpcxpcld 26169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
3332adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
34 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
35 oveq1 7400 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝑥𝑁) = ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
3635oveq2d 7409 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) = (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
3736breq2d 5153 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))))
3837rspcva 3607 . . . . . . 7 (((𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
3933, 34, 38syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
4027rpcnd 13000 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
419adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
42 cxproot 26127 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
4340, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
4443oveq2d 7409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
4544adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
4639, 45breqtrd 5167 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
4746ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
48 xralrple 13166 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
491, 3, 48syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
5049adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
5147, 50mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → 𝐴𝐵)
5251ex 413 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)) → 𝐴𝐵))
5326, 52impbid 211 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095  *cxr 11229  cle 11231   / cdiv 11853  cn 12194  0cn0 12454  +crp 12956  cexp 14009  𝑐ccxp 25993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cncf 24323  df-limc 25312  df-dv 25313  df-log 25994  df-cxp 25995
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator