Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple4 44655
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple4.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
xralrple4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
xralrple4 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple4.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 xralrple4.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 11268 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
63ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 rpre 12988 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 xralrple4.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
109nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
128, 11reexpcld 14133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑁) ∈ ℝ)
1312adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑁) ∈ ℝ)
146, 13readdcld 11247 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) ∈ ℝ)
1514rexrd 11268 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) ∈ ℝ*)
16 simplr 766 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
17 rpge0 12993 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
1817adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
198, 11, 18expge0d 14134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑥𝑁))
203adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
2120, 12addge01d 11806 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝑥𝑁) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
2219, 21mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2322adantlr 712 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
242, 5, 15, 16, 23xrletrd 13147 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2524ralrimiva 3140 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
2625ex 412 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
27 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
289nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
2928rpreccld 13032 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
3029rpred 13022 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3227, 31rpcxpcld 26622 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
3332adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
34 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)))
35 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝑥𝑁) = ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
3635oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐵 + (𝑥𝑁)) = (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
3736breq2d 5153 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))))
3837rspcva 3604 . . . . . . 7 (((𝑦𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
3933, 34, 38syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
4027rpcnd 13024 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
419adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
42 cxproot 26579 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
4340, 41, 42syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
4443oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
4544adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
4639, 45breqtrd 5167 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
4746ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
48 xralrple 13190 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
491, 3, 48syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
5049adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
5147, 50mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))) → 𝐴𝐵)
5251ex 412 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁)) → 𝐴𝐵))
5326, 52impbid 211 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  *cxr 11251  cle 11253   / cdiv 11875  cn 12216  0cn0 12476  +crp 12980  cexp 14032  𝑐ccxp 26444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator