Theorem xralrple4 45389

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xralrple4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
xralrple4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
xralrple4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple4.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xralrple4.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11312	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	3	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		rpre 13044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		xralrple4.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	8, 11	reexpcld 14204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℝ)
13	12	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℝ)
14	6, 13	readdcld 11291	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11312	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) ∈ ℝ*)
16		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17		rpge0 13049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
18	17	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
19	8, 11, 18	expge0d 14205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑥↑𝑁))
20	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	20, 12	addge01d 11852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝑥↑𝑁) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))
22	19, 21	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
23	22	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
24	2, 5, 15, 16, 23	xrletrd 13205	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
25	24	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
26	25	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))
27		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
28	9	nnrpd 13076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
29	28	rpreccld 13088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
32	27, 31	rpcxpcld 26776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
33	32	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
34		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
35		oveq1 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) → (𝑥↑𝑁) = ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
36	35	oveq2d 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) = (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
37	36	breq2d 5154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))))
38	37	rspcva 3619	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
39	33, 34, 38	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
40	27	rpcnd 13080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
41	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		cxproot 26733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
43	40, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
44	43	oveq2d 7448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
45	44	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
46	39, 45	breqtrd 5168	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
47	46	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
48		xralrple 13248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
49	1, 3, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
51	47, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
52	51	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) → 𝐴 ≤ 𝐵))
53	26, 52	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  ℝ^*cxr 11295   ≤ cle 11297   / cdiv 11921  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ℝ⁺crp 13035  ↑cexp 14103  ↑_𝑐ccxp 26598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-cxp 26600

This theorem is referenced by: (None)