Theorem xralrple4 45288

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xralrple4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
xralrple4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
xralrple4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple4.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xralrple4.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11340	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	4	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	3	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		rpre 13065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		xralrple4.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	8, 11	reexpcld 14213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℝ)
13	12	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℝ)
14	6, 13	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11340	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) ∈ ℝ*)
16		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17		rpge0 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
18	17	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
19	8, 11, 18	expge0d 14214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑥↑𝑁))
20	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	20, 12	addge01d 11878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝑥↑𝑁) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))
22	19, 21	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
23	22	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
24	2, 5, 15, 16, 23	xrletrd 13224	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
25	24	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
26	25	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))
27		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
28	9	nnrpd 13097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
29	28	rpreccld 13109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
32	27, 31	rpcxpcld 26793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
33	32	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
34		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
35		oveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) → (𝑥↑𝑁) = ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
36	35	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) = (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
37	36	breq2d 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))))
38	37	rspcva 3633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
39	33, 34, 38	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
40	27	rpcnd 13101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
41	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		cxproot 26750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
43	40, 41, 42	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
44	43	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
45	44	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
46	39, 45	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
47	46	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
48		xralrple 13267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
49	1, 3, 48	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
51	47, 50	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
52	51	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) → 𝐴 ≤ 𝐵))
53	26, 52	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℝ⁺crp 13057  ↑cexp 14112  ↑_𝑐ccxp 26615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-cxp 26617

This theorem is referenced by: (None)