Theorem xralrple4 40328

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xralrple4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
xralrple4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
xralrple4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem xralrple4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple4.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	ad2antrr 718	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xralrple4.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 10379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5	4	ad2antrr 718	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	3	ad2antrr 718	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		rpre 12081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		xralrple4.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 11639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	10	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12	8, 11	reexpcld 13278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℝ)
13	12	adantlr 707	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℝ)
14	6, 13	readdcld 10359	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 10379	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) ∈ ℝ*)
16		simplr 786	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17		rpge0 12088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
18	17	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
19	8, 11, 18	expge0d 13279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑥↑𝑁))
20	3	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	20, 12	addge01d 10908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝑥↑𝑁) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))
22	19, 21	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
23	22	adantlr 707	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
24	2, 5, 15, 16, 23	xrletrd 12241	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
25	24	ralrimiva 3148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
26	25	ex 402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))
27		simpr 478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
28	9	nnrpd 12114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
29	28	rpreccld 12126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 12116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31	30	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
32	27, 31	rpcxpcld 24818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
33	32	adantlr 707	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
34		simplr 786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)))
35		oveq1 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) → (𝑥↑𝑁) = ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
36	35	oveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) = (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
37	36	breq2d 4856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))))
38	37	rspcva 3496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
39	33, 34, 38	syl2anc 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)))
40	27	rpcnd 12118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
41	9	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
42		cxproot 24776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
43	40, 41, 42	syl2anc 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝑦)
44	43	oveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
45	44	adantlr 707	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐵 + ((𝑦↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁)) = (𝐵 + 𝑦))
46	39, 45	breqtrd 4870	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
47	46	ralrimiva 3148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
48		xralrple 12284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
49	1, 3, 48	syl2anc 580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
50	49	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
51	47, 50	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
52	51	ex 402	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁)) → 𝐴 ≤ 𝐵))
53	26, 52	impbid 204	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑥↑𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3090   class class class wbr 4844  (class class class)co 6879  ℂcc 10223  ℝcr 10224  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228  ℝ^*cxr 10363   ≤ cle 10365   / cdiv 10977  ℕcn 11313  ℕ₀cn0 11579  ℝ⁺crp 12073  ↑cexp 13113  ↑_𝑐ccxp 24642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304  ax-mulf 10305

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-fi 8560  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xneg 12192  df-xadd 12193  df-xmul 12194  df-ioo 12427  df-ioc 12428  df-ico 12429  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-mod 12923  df-seq 13055  df-exp 13114  df-fac 13313  df-bc 13342  df-hash 13370  df-shft 14147  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-limsup 14542  df-clim 14559  df-rlim 14560  df-sum 14757  df-ef 15133  df-sin 15135  df-cos 15136  df-pi 15138  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-ip 16284  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-hom 16290  df-cco 16291  df-rest 16397  df-topn 16398  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-topgen 16418  df-pt 16419  df-prds 16422  df-xrs 16476  df-qtop 16481  df-imas 16482  df-xps 16484  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-mulg 17856  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-psmet 20059  df-xmet 20060  df-met 20061  df-bl 20062  df-mopn 20063  df-fbas 20064  df-fg 20065  df-cnfld 20068  df-top 21026  df-topon 21043  df-topsp 21065  df-bases 21078  df-cld 21151  df-ntr 21152  df-cls 21153  df-nei 21230  df-lp 21268  df-perf 21269  df-cn 21359  df-cnp 21360  df-haus 21447  df-tx 21693  df-hmeo 21886  df-fil 21977  df-fm 22069  df-flim 22070  df-flf 22071  df-xms 22452  df-ms 22453  df-tms 22454  df-cncf 23008  df-limc 23970  df-dv 23971  df-log 24643  df-cxp 24644

This theorem is referenced by: (None)