ifscgr - Mathbox for Scott Fenton

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Theorem ifscgr 37024

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐺, with 𝐵 between 𝐴 and 𝐶 and 𝐹 between 𝐸 and 𝐺. If the other components of the triangles are congruent, then so are 𝐵𝐷 and 𝐹𝐻. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Scott Fenton, 27-Sep-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
ifscgr	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩ InnerFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))

Proof of Theorem ifscgr Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brifs 37023	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩ InnerFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
2		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩)
3		simp11 1222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simp13 1224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simp21 1225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		axbtwnid 29574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐵 = 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐵 = 𝐶))
8	2, 7	syl5 35	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → 𝐵 = 𝐶))
9		simp2r 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
10		simp3r 1221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)
11	9, 10	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
12		opeq2 4846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐵⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)
13	12	breq1d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩))
14		opeq1 4845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐷⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
15	14	breq1d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
16	13, 15	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ↔ (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
17	16	biimprd 251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
18	11, 17	mpan9 516	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
19		simp31 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		simp32 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		cgrid2 36983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ → 𝐹 = 𝐺))
22	3, 4, 19, 20, 21	syl13anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ → 𝐹 = 𝐺))
23		opeq1 4845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ⟨𝐹, 𝐻⟩ = ⟨𝐺, 𝐻⟩)
24	23	breq2d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
25	24	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
26	22, 25	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
27	26	impd 416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
28	18, 27	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
29	28	expd 421	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (𝐵 = 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
30	8, 29	mpdd 44	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
31		opeq1 4845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐶, 𝐶⟩)
32	31	breq2d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩))
33	32	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)))
34	31	breq1d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩))
35	34	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ↔ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)))
36	33, 35	3anbi12d 1466	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ↔ ((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
37	36	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩) ↔ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
38	30, 37	imbitrrid 249	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
39		simp12 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40		btwndiff 37007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
41	3, 39, 5, 40	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
42		simpl11 1267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
43		simpl23 1272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
44		simpl32 1274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
45		simpl21 1270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		axsegcon 29562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))
48	42, 43, 44, 45, 46, 47	syl122anc 1407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))
49		anass 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) ↔ ((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))))
50		anass 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ↔ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)))
51		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩)
52	51	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩)
53		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)
54	53	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)
55	52, 54	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩))
56		simpr2l 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩)
57	56	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩)
58		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)
59	58	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)
60	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
61	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
62		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))
63	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
64		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
65		cgrcom 36970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
66	60, 61, 62, 63, 64, 65	syl122anc 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
67	59, 66	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩)
68	57, 67	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
69		simprr3 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
70	55, 68, 69	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
71	70	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
72		simpl11 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
73		simpl12 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
74		simpl21 1270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
75		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
76		simpl22 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
77		simpl23 1272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
78		simpl32 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
79		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))
80		simpl33 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
81		brofs 36985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
82	72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81	syl333anc 1430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
83	71, 82	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩))
84		5segofs 36986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩))
85	72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 84	syl333anc 1430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩))
86	83, 85	syland 615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩))
87		simpr1l 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
88	87	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
89	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩)
90	88, 89	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩))
91		simpr1r 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)
92	91	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)
93	53	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)
94	90, 92, 93	jca32 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) ∧ (𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)))
95		simpl13 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
96		btwnexch3 37000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩))
97	72, 73, 95, 74, 75, 96	syl122anc 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩))
98		simpl31 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
99		btwnexch3 37000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) → 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩))
100	72, 77, 98, 78, 79, 99	syl122anc 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) → 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩))
101	97, 100	anim12d 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) ∧ (𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩)))
102	94, 101	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩)))
103	102	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩))
104		btwncom 36994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩))
105	72, 74, 95, 75, 104	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩))
106		btwncom 36994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩ ↔ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩))
107	72, 78, 98, 79, 106	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩ ↔ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩))
108	105, 107	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩) ↔ (𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩)))
109	108	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩) ↔ (𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩)))
110	103, 109	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩))
111	58	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)
112	72, 78, 79, 74, 75, 65	syl122anc 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
113		cgrcomlr 36978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
114	72, 74, 75, 78, 79, 113	syl122anc 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
115	112, 114	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
116	115	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
117	111, 116	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩)
118		simpr2r 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
119	118	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
120	72, 95, 74, 98, 78, 119	cgrcomlrand 36981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩)
121	117, 120	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩))
122		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)
123		simpr3r 1254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)
124	123	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)
125	122, 124	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
126	110, 121, 125	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
127	126	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
128		brofs 36985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
129	72, 75, 74, 95, 76, 79, 78, 98, 80, 128	syl333anc 1430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
130	127, 129	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩))
131		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑒)
132	131	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐶 ≠ 𝑒)
133	132	necomd 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝑒 ≠ 𝐶)
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝑒 ≠ 𝐶))
135	130, 134	jcad 522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → (⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝑒 ≠ 𝐶)))
136		5segofs 36986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝑒 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
137	72, 75, 74, 95, 76, 79, 78, 98, 80, 136	syl333anc 1430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝑒 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
138	135, 137	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
139	138	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
140	139	adantrd 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
141	86, 140	mpdd 44	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
142	50, 141	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
143	49, 142	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
144	143	expd 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
145	144	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
146	145	rexlimdva 3167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
147	48, 146	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
148	147	expd 421	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
149	148	rexlimdva 3167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
150	41, 149	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
151	150	expd 421	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (𝐴 ≠ 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
152	151	com3r 88	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
153	38, 152	pm2.61ine 3042	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
154	1, 153	sylbid 243	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩ InnerFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 ∃wrex 3090 ⟨cop 4840 class class class wbr 5108 ‘cfv 6566 ℕcn 12375 𝔼cee 29522 Btwn cbtwn 29523 Cgrccgr 29524 OuterFiveSeg cofs 36962 InnerFiveSeg cifs 37015

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-inf2 9679 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4841 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-se 5612 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-isom 6575 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-om 7912 df-1st 8035 df-2nd 8036 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-1o 8514 df-er 8755 df-map 8887 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-fin 9015 df-sup 9471 df-oi 9541 df-card 10057 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-3 12446 df-n0 12647 df-z 12734 df-uz 13006 df-rp 13161 df-ico 13522 df-icc 13523 df-fz 13680 df-fzo 13829 df-seq 14185 df-exp 14245 df-hash 14516 df-cj 15309 df-re 15310 df-im 15311 df-sqrt 15445 df-abs 15446 df-clim 15699 df-sum 15898 df-ee 29525 df-btwn 29526 df-cgr 29527 df-ofs 36963 df-ifs 37020

This theorem is used by: cgrsub 37025 btwnxfr 37036 fscgr 37060 btwnconn1lem5 37071 btwnconn1lem6 37072

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