ifscgr - Mathbox for Scott Fenton

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Theorem ifscgr 36287

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐺, with 𝐵 between 𝐴 and 𝐶 and 𝐹 between 𝐸 and 𝐺. If the other components of the triangles are congruent, then so are 𝐵𝐷 and 𝐹𝐻. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Scott Fenton, 27-Sep-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
ifscgr	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩ InnerFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))

Proof of Theorem ifscgr Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brifs 36286	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩ InnerFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
2		simp1l 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩)
3		simp11 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simp13 1213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simp21 1214	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		axbtwnid 29030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐵 = 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐵 = 𝐶))
8	2, 7	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → 𝐵 = 𝐶))
9		simp2r 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
10		simp3r 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)
11	9, 10	jca 517	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
12		opeq2 4808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐵⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)
13	12	breq1d 5085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩))
14		opeq1 4807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐷⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
15	14	breq1d 5085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
16	13, 15	anbi12d 639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ↔ (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
17	16	biimprd 250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
18	11, 17	mpan9 512	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
19		simp31 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		simp32 1218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		cgrid2 36246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ → 𝐹 = 𝐺))
22	3, 4, 19, 20, 21	syl13anc 1381	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ → 𝐹 = 𝐺))
23		opeq1 4807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ⟨𝐹, 𝐻⟩ = ⟨𝐺, 𝐻⟩)
24	23	breq2d 5087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
25	24	biimprd 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
26	22, 25	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
27	26	impd 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
28	18, 27	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
29	28	expd 417	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (𝐵 = 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
30	8, 29	mpdd 43	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
31		opeq1 4807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐶, 𝐶⟩)
32	31	breq2d 5087	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩))
33	32	anbi1d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)))
34	31	breq1d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩))
35	34	anbi1d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ↔ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)))
36	33, 35	3anbi12d 1446	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ↔ ((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
37	36	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩) ↔ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
38	30, 37	imbitrrid 248	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
39		simp12 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40		btwndiff 36270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
41	3, 39, 5, 40	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
42		simpl11 1256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
43		simpl23 1261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
44		simpl32 1263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
45		simpl21 1259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		axsegcon 29018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))
48	42, 43, 44, 45, 46, 47	syl122anc 1388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))
49		anass 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) ↔ ((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))))
50		anass 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ↔ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)))
51		simplrl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩)
52	51	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩)
53		simplll 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)
54	53	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)
55	52, 54	jca 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩))
56		simpr2l 1240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩)
57	56	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩)
58		simpllr 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)
59	58	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)
60	3	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
61	20	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
62		simplrr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))
63	5	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
64		simplrl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
65		cgrcom 36233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
66	60, 61, 62, 63, 64, 65	syl122anc 1388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
67	59, 66	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩)
68	57, 67	jca 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
69		simprr3 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
70	55, 68, 69	3jca 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
71	70	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
72		simpl11 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
73		simpl12 1257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
74		simpl21 1259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
75		simprl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
76		simpl22 1260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
77		simpl23 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
78		simpl32 1263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
79		simprr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))
80		simpl33 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
81		brofs 36248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
82	72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81	syl333anc 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
83	71, 82	sylibrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩))
84		5segofs 36249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩))
85	72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 84	syl333anc 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩))
86	83, 85	syland 610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩))
87		simpr1l 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
88	87	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
89	51	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩)
90	88, 89	jca 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩))
91		simpr1r 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)
92	91	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)
93	53	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)
94	90, 92, 93	jca32 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) ∧ (𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)))
95		simpl13 1258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
96		btwnexch3 36263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩))
97	72, 73, 95, 74, 75, 96	syl122anc 1388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩))
98		simpl31 1262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
99		btwnexch3 36263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) → 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩))
100	72, 77, 98, 78, 79, 99	syl122anc 1388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) → 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩))
101	97, 100	anim12d 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) ∧ (𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩)))
102	94, 101	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩)))
103	102	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩))
104		btwncom 36257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩))
105	72, 74, 95, 75, 104	syl13anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩))
106		btwncom 36257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩ ↔ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩))
107	72, 78, 98, 79, 106	syl13anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩ ↔ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩))
108	105, 107	anbi12d 639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩) ↔ (𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩)))
109	108	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩) ↔ (𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩)))
110	103, 109	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩))
111	58	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)
112	72, 78, 79, 74, 75, 65	syl122anc 1388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
113		cgrcomlr 36241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
114	72, 74, 75, 78, 79, 113	syl122anc 1388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
115	112, 114	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
116	115	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
117	111, 116	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩)
118		simpr2r 1241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
119	118	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
120	72, 95, 74, 98, 78, 119	cgrcomlrand 36244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩)
121	117, 120	jca 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩))
122		simprr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)
123		simpr3r 1243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)
124	123	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)
125	122, 124	jca 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
126	110, 121, 125	3jca 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
127	126	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
128		brofs 36248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
129	72, 75, 74, 95, 76, 79, 78, 98, 80, 128	syl333anc 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
130	127, 129	sylibrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩))
131		simplrr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑒)
132	131	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐶 ≠ 𝑒)
133	132	necomd 2991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝑒 ≠ 𝐶)
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝑒 ≠ 𝐶))
135	130, 134	jcad 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → (⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝑒 ≠ 𝐶)))
136		5segofs 36249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝑒 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
137	72, 75, 74, 95, 76, 79, 78, 98, 80, 136	syl333anc 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝑒 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
138	135, 137	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
139	138	expd 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
140	139	adantrd 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
141	86, 140	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
142	50, 141	biimtrrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
143	49, 142	biimtrrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
144	143	expd 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
145	144	anassrs 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
146	145	rexlimdva 3142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
147	48, 146	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
148	147	expd 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
149	148	rexlimdva 3142	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
150	41, 149	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
151	150	expd 417	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (𝐴 ≠ 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
152	151	com3r 87	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
153	38, 152	pm2.61ine 3019	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
154	1, 153	sylbid 242	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩ InnerFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 397 ∧ w3a 1093 = wceq 1548 ∈ wcel 2121 ≠ wne 2936 ∃wrex 3065 ⟨cop 4564 class class class wbr 5075 ‘cfv 6489 ℕcn 12169 𝔼cee 28978 Btwn cbtwn 28979 Cgrccgr 28980 OuterFiveSeg cofs 36225 InnerFiveSeg cifs 36278

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1975 ax-7 2016 ax-8 2123 ax-9 2131 ax-10 2154 ax-11 2170 ax-12 2191 ax-ext 2713 ax-rep 5202 ax-sep 5221 ax-nul 5231 ax-pow 5297 ax-pr 5365 ax-un 7682 ax-inf2 9557 ax-cnex 11089 ax-resscn 11090 ax-1cn 11091 ax-icn 11092 ax-addcl 11093 ax-addrcl 11094 ax-mulcl 11095 ax-mulrcl 11096 ax-mulcom 11097 ax-addass 11098 ax-mulass 11099 ax-distr 11100 ax-i2m1 11101 ax-1ne0 11102 ax-1rid 11103 ax-rnegex 11104 ax-rrecex 11105 ax-cnre 11106 ax-pre-lttri 11107 ax-pre-lttrn 11108 ax-pre-ltadd 11109 ax-pre-mulgt0 11110 ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 398 df-or 855 df-3or 1094 df-3an 1095 df-tru 1551 df-fal 1561 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2075 df-mo 2545 df-eu 2575 df-clab 2720 df-cleq 2733 df-clel 2816 df-nfc 2890 df-ne 2937 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3066 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3394 df-v 3435 df-sbc 3726 df-csb 3834 df-dif 3888 df-un 3890 df-in 3892 df-ss 3902 df-pss 3905 df-nul 4265 df-if 4458 df-pw 4534 df-sn 4559 df-pr 4561 df-op 4565 df-uni 4842 df-int 4881 df-iun 4926 df-br 5076 df-opab 5138 df-mpt 5157 df-tr 5183 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-se 5575 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6256 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6445 df-fun 6491 df-fn 6492 df-f 6493 df-f1 6494 df-fo 6495 df-f1o 6496 df-fv 6497 df-isom 6498 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-frecs 8225 df-wrecs 8256 df-recs 8305 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-er 8637 df-map 8769 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-sup 9349 df-oi 9419 df-card 9858 df-pnf 11176 df-mnf 11177 df-xr 11178 df-ltxr 11179 df-le 11180 df-sub 11374 df-neg 11375 df-div 11803 df-nn 12170 df-2 12239 df-3 12240 df-n0 12433 df-z 12520 df-uz 12784 df-rp 12938 df-ico 13299 df-icc 13300 df-fz 13457 df-fzo 13604 df-seq 13959 df-exp 14019 df-hash 14288 df-cj 15056 df-re 15057 df-im 15058 df-sqrt 15192 df-abs 15193 df-clim 15445 df-sum 15644 df-ee 28981 df-btwn 28982 df-cgr 28983 df-ofs 36226 df-ifs 36283

This theorem is referenced by: cgrsub 36288 btwnxfr 36299 fscgr 36323 btwnconn1lem5 36334 btwnconn1lem6 36335

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