ifscgr - Mathbox for Scott Fenton

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Theorem ifscgr 36045

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, 𝐴𝐷𝐶 and 𝐸𝐻𝐺, with 𝐵 between 𝐴 and 𝐶 and 𝐹 between 𝐸 and 𝐺. If the other components of the triangles are congruent, then so are 𝐵𝐷 and 𝐹𝐻. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Scott Fenton, 27-Sep-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
ifscgr	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩ InnerFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))

Proof of Theorem ifscgr Dummy variables 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brifs 36044	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩ InnerFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
2		simp1l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩)
3		simp11 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simp13 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simp21 1207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		axbtwnid 28954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐵 = 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ → 𝐵 = 𝐶))
8	2, 7	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → 𝐵 = 𝐶))
9		simp2r 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
10		simp3r 1203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)
11	9, 10	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
12		opeq2 4874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐵⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)
13	12	breq1d 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩))
14		opeq1 4873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐷⟩ = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
15	14	breq1d 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
16	13, 15	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) ↔ (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
17	16	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
18	11, 17	mpan9 506	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
19		simp31 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
20		simp32 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
21		cgrid2 36004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ → 𝐹 = 𝐺))
22	3, 4, 19, 20, 21	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ → 𝐹 = 𝐺))
23		opeq1 4873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ⟨𝐹, 𝐻⟩ = ⟨𝐺, 𝐻⟩)
24	23	breq2d 5155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
25	24	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
26	22, 25	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ → (⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
27	26	impd 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐵, 𝐵⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
28	18, 27	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐵 = 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
29	28	expd 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (𝐵 = 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
30	8, 29	mpdd 43	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
31		opeq1 4873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐶, 𝐶⟩)
32	31	breq2d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩))
33	32	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ↔ (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)))
34	31	breq1d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩))
35	34	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ↔ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)))
36	33, 35	3anbi12d 1439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ↔ ((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
37	36	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩) ↔ (((𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐶, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
38	30, 37	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐶 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
39		simp12 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
40		btwndiff 36028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
41	3, 39, 5, 40	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒))
42		simpl11 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
43		simpl23 1254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
44		simpl32 1256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
45		simpl21 1252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		axsegcon 28942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))
48	42, 43, 44, 45, 46, 47	syl122anc 1381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))
49		anass 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) ↔ ((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))))
50		anass 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ↔ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)))
51		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩)
53		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)
55	52, 54	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩))
56		simpr2l 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩)
58		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)
60	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
61	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
62		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))
63	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
64		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
65		cgrcom 35991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
66	60, 61, 62, 63, 64, 65	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
67	59, 66	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩)
68	57, 67	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
69		simprr3 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
70	55, 68, 69	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
71	70	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
72		simpl11 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
73		simpl12 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
74		simpl21 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
75		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
76		simpl22 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
77		simpl23 1254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
78		simpl32 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁))
79		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))
80		simpl33 1257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))
81		brofs 36006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
82	72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81	syl333anc 1404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
83	71, 82	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩))
84		5segofs 36007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩))
85	72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 84	syl333anc 1404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝑒, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐺⟩, ⟨𝑓, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩))
86	83, 85	syland 603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩))
87		simpr1l 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
89	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩)
90	88, 89	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩))
91		simpr1r 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩)
93	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)
94	90, 92, 93	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) ∧ (𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)))
95		simpl13 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
96		btwnexch3 36021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩))
97	72, 73, 95, 74, 75, 96	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩))
98		simpl31 1255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
99		btwnexch3 36021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) → 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩))
100	72, 77, 98, 78, 79, 99	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩) → 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩))
101	97, 100	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩) ∧ (𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩)))
102	94, 101	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩)))
103	102	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩))
104		btwncom 36015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩))
105	72, 74, 95, 75, 104	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩))
106		btwncom 36015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩ ↔ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩))
107	72, 78, 98, 79, 106	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩ ↔ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩))
108	105, 107	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩) ↔ (𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩)))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝑒⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝐹, 𝑓⟩) ↔ (𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩)))
110	103, 109	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩))
111	58	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)
112	72, 78, 79, 74, 75, 65	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩))
113		cgrcomlr 35999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
114	72, 74, 75, 78, 79, 113	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝑒⟩Cgr⟨𝐺, 𝑓⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
115	112, 114	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩))
117	111, 116	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩)
118		simpr2r 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
119	118	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩)
120	72, 95, 74, 98, 78, 119	cgrcomlrand 36002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩)
121	117, 120	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩))
122		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)
123		simpr3r 1236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)
124	123	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)
125	122, 124	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))
126	110, 121, 125	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)))
127	126	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
128		brofs 36006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
129	72, 75, 74, 95, 76, 79, 78, 98, 80, 128	syl333anc 1404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ↔ ((𝐶 Btwn ⟨𝑒, 𝐵⟩ ∧ 𝐺 Btwn ⟨𝑓, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐶⟩Cgr⟨𝑓, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐺, 𝐹⟩) ∧ (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))))
130	127, 129	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩))
131		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑒)
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝐶 ≠ 𝑒)
133	132	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝑒 ≠ 𝐶)
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → 𝑒 ≠ 𝐶))
135	130, 134	jcad 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → (⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝑒 ≠ 𝐶)))
136		5segofs 36007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝑒 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
137	72, 75, 74, 95, 76, 79, 78, 98, 80, 136	syl333anc 1404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨⟨𝑒, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩⟩ OuterFiveSeg ⟨⟨𝑓, 𝐺⟩, ⟨𝐹, 𝐻⟩⟩ ∧ 𝑒 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
138	135, 137	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ ⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
139	138	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) → (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
140	139	adantrd 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨𝑒, 𝐷⟩Cgr⟨𝑓, 𝐻⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
141	86, 140	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩))) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
142	50, 141	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒)) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
143	49, 142	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
144	143	expd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
145	144	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
146	145	rexlimdva 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑓 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐺 Btwn ⟨𝐸, 𝑓⟩ ∧ ⟨𝐺, 𝑓⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
147	48, 146	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
148	147	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
149	148	rexlimdva 3155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑒⟩ ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
150	41, 149	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
151	150	expd 415	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → (𝐴 ≠ 𝐶 → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
152	151	com3r 87	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩)))
153	38, 152	pm2.61ine 3025	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐹 Btwn ⟨𝐸, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐺⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐹, 𝐺⟩) ∧ (⟨𝐴, 𝐷⟩Cgr⟨𝐸, 𝐻⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐺, 𝐻⟩)) → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))
154	1, 153	sylbid 240	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐻 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩ InnerFiveSeg ⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐺, 𝐻⟩⟩ → ⟨𝐵, 𝐷⟩Cgr⟨𝐹, 𝐻⟩))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 ∃wrex 3070 ⟨cop 4632 class class class wbr 5143 ‘cfv 6561 ℕcn 12266 𝔼cee 28903 Btwn cbtwn 28904 Cgrccgr 28905 OuterFiveSeg cofs 35983 InnerFiveSeg cifs 36036

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-er 8745 df-map 8868 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-sup 9482 df-oi 9550 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-n0 12527 df-z 12614 df-uz 12879 df-rp 13035 df-ico 13393 df-icc 13394 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-seq 14043 df-exp 14103 df-hash 14370 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-clim 15524 df-sum 15723 df-ee 28906 df-btwn 28907 df-cgr 28908 df-ofs 35984 df-ifs 36041

This theorem is referenced by: cgrsub 36046 btwnxfr 36057 fscgr 36081 btwnconn1lem5 36092 btwnconn1lem6 36093

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