Theorem outsideofrflx 33204

Description: Reflexitivity of outsideness. Theorem 6.5 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
outsideofrflx	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ≠ 𝑃 → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐴⟩))

Proof of Theorem outsideofrflx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axbtwnid 26413	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐴⟩ → 𝑃 = 𝐴))
2		eqcom 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝑃)
3	1, 2	syl6ib 252	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐴⟩ → 𝐴 = 𝑃))
4	3	necon3ad 2997	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐴⟩))
5		colineartriv2 33145	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐴⟩)
6	4, 5	jctild 526	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ≠ 𝑃 → (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐴⟩)))
7		broutsideof 33198	. 2 ⊢ (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐴⟩ ↔ (𝑃 Colinear ⟨𝐴, 𝐴⟩ ∧ ¬ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐴⟩))
8	6, 7	syl6ibr 253	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 ≠ 𝑃 → 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐴⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ⟨cop 4482   class class class wbr 4966  ‘cfv 6230  ℕcn 11491  𝔼cee 26362   Btwn cbtwn 26363   Colinear ccolin 33114  OutsideOfcoutsideof 33196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-oi 8825  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-sum 14882  df-ee 26365  df-btwn 26366  df-cgr 26367  df-colinear 33116  df-outsideof 33197

This theorem is referenced by: (None)