![]() |
Mathbox for metakunt |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lcmineqlem20 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Inequality for lcm lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
lcmineqlem20.1 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
lcmineqlem20 | โข (๐ โ (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lcmineqlem20.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
2 | 1 | nnred 12175 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
3 | 2nn0 12437 | . . . . . 6 โข 2 โ โ0 | |
4 | 3 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ 2 โ โ0) |
5 | 1 | nnnn0d 12480 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
6 | 4, 5 | nn0mulcld 12485 | . . . 4 โข (๐ โ (2 ยท ๐) โ โ0) |
7 | 2re 12234 | . . . . 5 โข 2 โ โ | |
8 | reexpcl 13991 | . . . . 5 โข ((2 โ โ โง (2 ยท ๐) โ โ0) โ (2โ(2 ยท ๐)) โ โ) | |
9 | 7, 8 | mpan 689 | . . . 4 โข ((2 ยท ๐) โ โ0 โ (2โ(2 ยท ๐)) โ โ) |
10 | 6, 9 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ (2โ(2 ยท ๐)) โ โ) |
11 | 2, 10 | remulcld 11192 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))) โ โ) |
12 | 7 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ 2 โ โ) |
13 | 12, 2 | remulcld 11192 | . . . . 5 โข (๐ โ (2 ยท ๐) โ โ) |
14 | 1red 11163 | . . . . 5 โข (๐ โ 1 โ โ) | |
15 | 13, 14 | readdcld 11191 | . . . 4 โข (๐ โ ((2 ยท ๐) + 1) โ โ) |
16 | 2nn 12233 | . . . . . . . 8 โข 2 โ โ | |
17 | 16 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 2 โ โ) |
18 | 17, 1 | nnmulcld 12213 | . . . . . 6 โข (๐ โ (2 ยท ๐) โ โ) |
19 | 5 | nn0ge0d 12483 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 0 โค ๐) |
20 | 17 | nnge1d 12208 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 1 โค 2) |
21 | 2, 12, 19, 20 | lemulge12d 12100 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โค (2 ยท ๐)) |
22 | 18, 5, 21 | bccl2d 40478 | . . . . 5 โข (๐ โ ((2 ยท ๐)C๐) โ โ) |
23 | 22 | nnred 12175 | . . . 4 โข (๐ โ ((2 ยท ๐)C๐) โ โ) |
24 | 15, 23 | remulcld 11192 | . . 3 โข (๐ โ (((2 ยท ๐) + 1) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โ โ) |
25 | 2, 24 | remulcld 11192 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท (((2 ยท ๐) + 1) ยท ((2 ยท ๐)C๐))) โ โ) |
26 | fz1ssnn 13479 | . . . . 5 โข (1...((2 ยท ๐) + 1)) โ โ | |
27 | fzfi 13884 | . . . . 5 โข (1...((2 ยท ๐) + 1)) โ Fin | |
28 | lcmfnncl 16512 | . . . . 5 โข (((1...((2 ยท ๐) + 1)) โ โ โง (1...((2 ยท ๐) + 1)) โ Fin) โ (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ โ) | |
29 | 26, 27, 28 | mp2an 691 | . . . 4 โข (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ โ |
30 | 29 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ โ) |
31 | 30 | nnred 12175 | . 2 โข (๐ โ (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ โ) |
32 | 5 | lcmineqlem17 40531 | . . 3 โข (๐ โ (2โ(2 ยท ๐)) โค (((2 ยท ๐) + 1) ยท ((2 ยท ๐)C๐))) |
33 | 1 | nnrpd 12962 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ+) |
34 | 10, 24, 33 | lemul2d 13008 | . . 3 โข (๐ โ ((2โ(2 ยท ๐)) โค (((2 ยท ๐) + 1) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โ (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))) โค (๐ ยท (((2 ยท ๐) + 1) ยท ((2 ยท ๐)C๐))))) |
35 | 32, 34 | mpbid 231 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))) โค (๐ ยท (((2 ยท ๐) + 1) ยท ((2 ยท ๐)C๐)))) |
36 | 2 | recnd 11190 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
37 | 15 | recnd 11190 | . . . 4 โข (๐ โ ((2 ยท ๐) + 1) โ โ) |
38 | 23 | recnd 11190 | . . . 4 โข (๐ โ ((2 ยท ๐)C๐) โ โ) |
39 | 36, 37, 38 | mulassd 11185 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) = (๐ ยท (((2 ยท ๐) + 1) ยท ((2 ยท ๐)C๐)))) |
40 | 1 | lcmineqlem19 40533 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โฅ (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) |
41 | 18 | peano2nnd 12177 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ((2 ยท ๐) + 1) โ โ) |
42 | 1, 41 | nnmulcld 12213 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) โ โ) |
43 | 42, 22 | nnmulcld 12213 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โ โ) |
44 | 43 | nnzd 12533 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โ โค) |
45 | dvdsle 16199 | . . . . 5 โข ((((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โ โค โง (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ โ) โ (((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โฅ (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ ((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))))) | |
46 | 44, 30, 45 | syl2anc 585 | . . . 4 โข (๐ โ (((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โฅ (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โ ((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))))) |
47 | 40, 46 | mpd 15 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) |
48 | 39, 47 | eqbrtrrd 5134 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท (((2 ยท ๐) + 1) ยท ((2 ยท ๐)C๐))) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) |
49 | 11, 25, 31, 35, 48 | letrd 11319 | 1 โข (๐ โ (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wcel 2107 โ wss 3915 class class class wbr 5110 โcfv 6501 (class class class)co 7362 Fincfn 8890 โcr 11057 1c1 11059 + caddc 11061 ยท cmul 11063 โค cle 11197 โcn 12160 2c2 12215 โ0cn0 12420 โคcz 12506 ...cfz 13431 โcexp 13974 Ccbc 14209 โฅ cdvds 16143 lcmclcmf 16472 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-inf2 9584 ax-cc 10378 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 ax-pre-sup 11136 ax-addf 11137 ax-mulf 11138 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-symdif 4207 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-iin 4962 df-disj 5076 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-se 5594 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-isom 6510 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-of 7622 df-ofr 7623 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-supp 8098 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-2o 8418 df-oadd 8421 df-omul 8422 df-er 8655 df-map 8774 df-pm 8775 df-ixp 8843 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fsupp 9313 df-fi 9354 df-sup 9385 df-inf 9386 df-oi 9453 df-dju 9844 df-card 9882 df-acn 9885 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-nn 12161 df-2 12223 df-3 12224 df-4 12225 df-5 12226 df-6 12227 df-7 12228 df-8 12229 df-9 12230 df-n0 12421 df-z 12507 df-dec 12626 df-uz 12771 df-q 12881 df-rp 12923 df-xneg 13040 df-xadd 13041 df-xmul 13042 df-ioo 13275 df-ioc 13276 df-ico 13277 df-icc 13278 df-fz 13432 df-fzo 13575 df-fl 13704 df-mod 13782 df-seq 13914 df-exp 13975 df-fac 14181 df-bc 14210 df-hash 14238 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 df-sqrt 15127 df-abs 15128 df-limsup 15360 df-clim 15377 df-rlim 15378 df-sum 15578 df-prod 15796 df-dvds 16144 df-gcd 16382 df-lcm 16473 df-lcmf 16474 df-struct 17026 df-sets 17043 df-slot 17061 df-ndx 17073 df-base 17091 df-ress 17120 df-plusg 17153 df-mulr 17154 df-starv 17155 df-sca 17156 df-vsca 17157 df-ip 17158 df-tset 17159 df-ple 17160 df-ds 17162 df-unif 17163 df-hom 17164 df-cco 17165 df-rest 17311 df-topn 17312 df-0g 17330 df-gsum 17331 df-topgen 17332 df-pt 17333 df-prds 17336 df-xrs 17391 df-qtop 17396 df-imas 17397 df-xps 17399 df-mre 17473 df-mrc 17474 df-acs 17476 df-mgm 18504 df-sgrp 18553 df-mnd 18564 df-submnd 18609 df-mulg 18880 df-cntz 19104 df-cmn 19571 df-psmet 20804 df-xmet 20805 df-met 20806 df-bl 20807 df-mopn 20808 df-fbas 20809 df-fg 20810 df-cnfld 20813 df-top 22259 df-topon 22276 df-topsp 22298 df-bases 22312 df-cld 22386 df-ntr 22387 df-cls 22388 df-nei 22465 df-lp 22503 df-perf 22504 df-cn 22594 df-cnp 22595 df-haus 22682 df-cmp 22754 df-tx 22929 df-hmeo 23122 df-fil 23213 df-fm 23305 df-flim 23306 df-flf 23307 df-xms 23689 df-ms 23690 df-tms 23691 df-cncf 24257 df-ovol 24844 df-vol 24845 df-mbf 24999 df-itg1 25000 df-itg2 25001 df-ibl 25002 df-itg 25003 df-0p 25050 df-limc 25246 df-dv 25247 |
This theorem is referenced by: lcmineqlem21 40535 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |