Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem19 42029
Description: Dividing implies inequality for lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
lcmineqlem19.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem19 (𝜑 → ((𝑁 · ((2 · 𝑁) + 1)) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))

Proof of Theorem lcmineqlem19
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem19.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 2nn 12337 . . . . 5 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
43, 1nnmulcld 12317 . . 3 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
54peano2nnd 12281 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
61nnnn0d 12585 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
71nnred 12279 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8 2re 12338 . . . . 5 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
106nn0ge0d 12588 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
113nnge1d 12312 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 2)
127, 9, 10, 11lemulge12d 12204 . . 3 (𝜑𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
134, 6, 12bccl2d 41973 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
14 fz1ssnn 13592 . . . 4 (1...(2 · 𝑁)) ⊆ ℕ
15 fzfi 14010 . . . 4 (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin
16 lcmfnncl 16663 . . . 4 (((1...(2 · 𝑁)) ⊆ ℕ ∧ (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...(2 · 𝑁))) ∈ ℕ)
1714, 15, 16mp2an 692 . . 3 (lcm‘(1...(2 · 𝑁))) ∈ ℕ
1817a1i 11 . 2 (𝜑 → (lcm‘(1...(2 · 𝑁))) ∈ ℕ)
19 fz1ssnn 13592 . . . 4 (1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ
20 fzfi 14010 . . . 4 (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin
21 lcmfnncl 16663 . . . 4 (((1...((2 · 𝑁) + 1)) ⊆ ℕ ∧ (1...((2 · 𝑁) + 1)) ∈ Fin) → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
2219, 20, 21mp2an 692 . . 3 (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ
2322a1i 11 . 2 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℕ)
241, 4, 12lcmineqlem16 42026 . 2 (𝜑 → (𝑁 · ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∥ (lcm‘(1...(2 · 𝑁))))
251lcmineqlem18 42028 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
261peano2nnd 12281 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
279, 7remulcld 11289 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
28 1red 11260 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
297, 27, 28, 12leadd1dd 11875 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
3026, 5, 29lcmineqlem16 42026 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
3125, 30eqbrtrrd 5172 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
3218nnzd 12638 . . . . . 6 (𝜑 → (lcm‘(1...(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
335nnzd 12638 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
3432, 33jca 511 . . . . 5 (𝜑 → ((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ))
35 dvdslcm 16632 . . . . 5 (((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ) → ((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) ∥ ((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) lcm ((2 · 𝑁) + 1)) ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∥ ((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) lcm ((2 · 𝑁) + 1))))
3634, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) ∥ ((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) lcm ((2 · 𝑁) + 1)) ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∥ ((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) lcm ((2 · 𝑁) + 1))))
3736simpld 494 . . 3 (𝜑 → (lcm‘(1...(2 · 𝑁))) ∥ ((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) lcm ((2 · 𝑁) + 1)))
385lcmfunnnd 41994 . . . 4 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) = ((lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 1) − 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 1)))
3927recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
40 1cnd 11254 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4139, 40pncand 11619 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − 1) = (2 · 𝑁))
4241oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (1...(((2 · 𝑁) + 1) − 1)) = (1...(2 · 𝑁)))
4342fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 1) − 1))) = (lcm‘(1...(2 · 𝑁))))
4443oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((lcm‘(1...(((2 · 𝑁) + 1) − 1))) lcm ((2 · 𝑁) + 1)) = ((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) lcm ((2 · 𝑁) + 1)))
4538, 44eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))) = ((lcm‘(1...(2 · 𝑁))) lcm ((2 · 𝑁) + 1)))
4637, 45breqtrrd 5176 . 2 (𝜑 → (lcm‘(1...(2 · 𝑁))) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
471nnzd 12638 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
48 2z 12647 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
49 1z 12645 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
50 gcdaddm 16559 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 1) = (𝑁 gcd (1 + (2 · 𝑁))))
5148, 49, 50mp3an13 1451 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = (𝑁 gcd (1 + (2 · 𝑁))))
5247, 51syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = (𝑁 gcd (1 + (2 · 𝑁))))
5340, 39addcomd 11461 . . . . 5 (𝜑 → (1 + (2 · 𝑁)) = ((2 · 𝑁) + 1))
5453oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 gcd (1 + (2 · 𝑁))) = (𝑁 gcd ((2 · 𝑁) + 1)))
5552, 54eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = (𝑁 gcd ((2 · 𝑁) + 1)))
56 gcd1 16562 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
5747, 56syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
5855, 57eqtr3d 2777 . 2 (𝜑 → (𝑁 gcd ((2 · 𝑁) + 1)) = 1)
591, 5, 13, 18, 23, 24, 31, 46, 58lcmineqlem14 42024 1 (𝜑 → ((𝑁 · ((2 · 𝑁) + 1)) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∥ (lcm‘(1...((2 · 𝑁) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  ...cfz 13544  Ccbc 14338  cdvds 16287   gcd cgcd 16528   lcm clcm 16622  lcmclcmf 16623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-lcm 16624  df-lcmf 16625  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  lcmineqlem20  42030
  Copyright terms: Public domain W3C validator