Theorem lcmineqlem16 42696

Description: Technical divisibility lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem16.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem16.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem16.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem16	⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem16

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13579	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
2		fzfi 14004	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3		lcmfnncl 16683	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 12245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
7		lcmineqlem16.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
9		lcmineqlem16.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	7	nnnn0d 12561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
11		lcmineqlem16.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
12	9, 10, 11	bccl2d 42643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 12245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℂ)
14	8, 13	mulcld 11225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
15	7	nnne0d 12282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
16	12	nnne0d 12282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ≠ 0)
17	8, 13, 15, 16	mulne0d 11862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
18	6, 14, 17	divrecd 11990	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) = ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
19		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
20	19, 7, 9, 11	lcmineqlem13 42693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
21	20	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
22	19, 9, 7, 11	lcmineqlem15 42695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ∈ ℕ)
23	21, 22	eqeltrrd 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) ∈ ℕ)
24	18, 23	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℕ)
25	7, 12	nnmulcld 12285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℕ)
26	25, 5	nndivdvdsd 42651	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℕ))
27	24, 26	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  0cc0 11096  1c1 11097   · cmul 11101   ≤ cle 11240   − cmin 11437   / cdiv 11867  ℕcn 12229  [,]cicc 13371  ...cfz 13531  ↑cexp 14093  Ccbc 14334   ∥ cdvds 16306  lcmclcmf 16643  ∫citg 25742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cc 10415  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-symdif 4214  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-prod 15954  df-dvds 16307  df-lcmf 16645  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-cmp 23509  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-ovol 25588  df-vol 25589  df-mbf 25743  df-itg1 25744  df-itg2 25745  df-ibl 25746  df-itg 25747  df-0p 25794  df-limc 25990  df-dv 25991

This theorem is referenced by:  lcmineqlem19  42699