Theorem lcmineqlem16 40032

Description: Technical divisibility lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem16.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem16.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem16.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem16	⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem16

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13269	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
2		fzfi 13673	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3		lcmfnncl 16315	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 11972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
7		lcmineqlem16.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 11972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
9		lcmineqlem16.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	7	nnnn0d 12276	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
11		lcmineqlem16.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
12	9, 10, 11	bccl2d 39980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 11972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℂ)
14	8, 13	mulcld 10979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
15	7	nnne0d 12006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
16	12	nnne0d 12006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ≠ 0)
17	8, 13, 15, 16	mulne0d 11610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
18	6, 14, 17	divrecd 11737	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) = ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
19		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
20	19, 7, 9, 11	lcmineqlem13 40029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
21	20	oveq2d 7284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
22	19, 9, 7, 11	lcmineqlem15 40031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ∈ ℕ)
23	21, 22	eqeltrrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) ∈ ℕ)
24	18, 23	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℕ)
25	7, 12	nnmulcld 12009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℕ)
26	25, 5	nndivdvdsd 39988	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℕ))
27	24, 26	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3891   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  0cc0 10855  1c1 10856   · cmul 10860   ≤ cle 10994   − cmin 11188   / cdiv 11615  ℕcn 11956  [,]cicc 13064  ...cfz 13221  ↑cexp 13763  Ccbc 13997   ∥ cdvds 15944  lcmclcmf 16275  ∫citg 24763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cc 10175  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-symdif 4181  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-disj 5044  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-omul 8286  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-dju 9643  df-card 9681  df-acn 9684  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-ioo 13065  df-ioc 13066  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-fac 13969  df-bc 13998  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-limsup 15161  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379  df-prod 15597  df-dvds 15945  df-lcmf 16277  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-submnd 18412  df-mulg 18682  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-fbas 20575  df-fg 20576  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cld 22151  df-ntr 22152  df-cls 22153  df-nei 22230  df-lp 22268  df-perf 22269  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-haus 22447  df-cmp 22519  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-fil 22978  df-fm 23070  df-flim 23071  df-flf 23072  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-cncf 24022  df-ovol 24609  df-vol 24610  df-mbf 24764  df-itg1 24765  df-itg2 24766  df-ibl 24767  df-itg 24768  df-0p 24815  df-limc 25011  df-dv 25012

This theorem is referenced by:  lcmineqlem19  40035