Theorem lcmineqlem16 41439

Description: Technical divisibility lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem16.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem16.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem16.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem16	⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem16

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13550	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
2		fzfi 13955	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3		lcmfnncl 16585	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 12244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
7		lcmineqlem16.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
9		lcmineqlem16.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	7	nnnn0d 12548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
11		lcmineqlem16.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
12	9, 10, 11	bccl2d 41386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 12244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℂ)
14	8, 13	mulcld 11250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
15	7	nnne0d 12278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
16	12	nnne0d 12278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ≠ 0)
17	8, 13, 15, 16	mulne0d 11882	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
18	6, 14, 17	divrecd 12009	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) = ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
19		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
20	19, 7, 9, 11	lcmineqlem13 41436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
21	20	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
22	19, 9, 7, 11	lcmineqlem15 41438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ∈ ℕ)
23	21, 22	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) ∈ ℕ)
24	18, 23	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℕ)
25	7, 12	nnmulcld 12281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℕ)
26	25, 5	nndivdvdsd 41394	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℕ))
27	24, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129   ≤ cle 11265   − cmin 11460   / cdiv 11887  ℕcn 12228  [,]cicc 13345  ...cfz 13502  ↑cexp 14044  Ccbc 14279   ∥ cdvds 16216  lcmclcmf 16545  ∫citg 25521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-prod 15868  df-dvds 16217  df-lcmf 16547  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-cmp 23265  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-mbf 25522  df-itg1 25523  df-itg2 25524  df-ibl 25525  df-itg 25526  df-0p 25573  df-limc 25769  df-dv 25770

This theorem is referenced by:  lcmineqlem19  41442