Theorem lcmineqlem16 40252

Description: Technical divisibility lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem16.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem16.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem16.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem16	⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem16

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13337	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
2		fzfi 13742	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3		lcmfnncl 16383	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℕ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ)
6	5	nncnd 12039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℂ)
7		lcmineqlem16.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
9		lcmineqlem16.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	7	nnnn0d 12343	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
11		lcmineqlem16.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
12	9, 10, 11	bccl2d 40200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 12039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ∈ ℂ)
14	8, 13	mulcld 11045	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℂ)
15	7	nnne0d 12073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
16	12	nnne0d 12073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑀) ≠ 0)
17	8, 13, 15, 16	mulne0d 11677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ≠ 0)
18	6, 14, 17	divrecd 11804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) = ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
19		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
20	19, 7, 9, 11	lcmineqlem13 40249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀))))
21	20	oveq2d 7323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))))
22	19, 9, 7, 11	lcmineqlem15 40251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ∈ ℕ)
23	21, 22	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) · (1 / (𝑀 · (𝑁C𝑀)))) ∈ ℕ)
24	18, 23	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℕ)
25	7, 12	nnmulcld 12076	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∈ ℕ)
26	25, 5	nndivdvdsd 40208	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ ((lcm‘(1...𝑁)) / (𝑀 · (𝑁C𝑀))) ∈ ℕ))
27	24, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁C𝑀)) ∥ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Fincfn 8764  0cc0 10921  1c1 10922   · cmul 10926   ≤ cle 11060   − cmin 11255   / cdiv 11682  ℕcn 12023  [,]cicc 13132  ...cfz 13289  ↑cexp 13832  Ccbc 14066   ∥ cdvds 16012  lcmclcmf 16343  ∫citg 24831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cc 10241  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999  ax-addf 11000  ax-mulf 11001

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-symdif 4182  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-disj 5047  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-ofr 7566  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-oadd 8332  df-omul 8333  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9177  df-fi 9218  df-sup 9249  df-inf 9250  df-oi 9317  df-dju 9707  df-card 9745  df-acn 9748  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-q 12739  df-rp 12781  df-xneg 12898  df-xadd 12899  df-xmul 12900  df-ioo 13133  df-ioc 13134  df-ico 13135  df-icc 13136  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-fl 13562  df-mod 13640  df-seq 13772  df-exp 13833  df-fac 14038  df-bc 14067  df-hash 14095  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-limsup 15229  df-clim 15246  df-rlim 15247  df-sum 15447  df-prod 15665  df-dvds 16013  df-lcmf 16345  df-struct 16897  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-starv 17026  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-ip 17029  df-tset 17030  df-ple 17031  df-ds 17033  df-unif 17034  df-hom 17035  df-cco 17036  df-rest 17182  df-topn 17183  df-0g 17201  df-gsum 17202  df-topgen 17203  df-pt 17204  df-prds 17207  df-xrs 17262  df-qtop 17267  df-imas 17268  df-xps 17270  df-mre 17344  df-mrc 17345  df-acs 17347  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-submnd 18480  df-mulg 18750  df-cntz 18972  df-cmn 19437  df-psmet 20638  df-xmet 20639  df-met 20640  df-bl 20641  df-mopn 20642  df-fbas 20643  df-fg 20644  df-cnfld 20647  df-top 22092  df-topon 22109  df-topsp 22131  df-bases 22145  df-cld 22219  df-ntr 22220  df-cls 22221  df-nei 22298  df-lp 22336  df-perf 22337  df-cn 22427  df-cnp 22428  df-haus 22515  df-cmp 22587  df-tx 22762  df-hmeo 22955  df-fil 23046  df-fm 23138  df-flim 23139  df-flf 23140  df-xms 23522  df-ms 23523  df-tms 23524  df-cncf 24090  df-ovol 24677  df-vol 24678  df-mbf 24832  df-itg1 24833  df-itg2 24834  df-ibl 24835  df-itg 24836  df-0p 24883  df-limc 25079  df-dv 25080

This theorem is referenced by:  lcmineqlem19  40255