Theorem bits0ALTV 48328

Description: Value of the zeroth bit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 19-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bits0ALTV	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ Odd ))

Proof of Theorem bits0ALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12515	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		bitsval2 16479	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0)))))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0)))))
4		2cn 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		exp0 14097	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑0) = 1
7	6	oveq2i 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1)
8		zcn 12592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8	div1d 11979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 1) = 𝑁)
10	7, 9	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
11	10	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
12		flid 13837	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
13	11, 12	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = 𝑁)
14	13	breq2d 5122	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) ↔ 2 ∥ 𝑁))
15	14	notbid 321	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
16		isodd3 48301	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	16	baibr 545	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
18	3, 15, 17	3bitrd 308	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ Odd ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   / cdiv 11867  2c2 12291  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ⌊cfl 13819  ↑cexp 14093   ∥ cdvds 16306  bitscbits 16473   Odd codd 48274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-dvds 16307  df-bits 16476  df-odd 48276

This theorem is referenced by:  bits0eALTV  48329  bits0oALTV  48330