Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bits0ALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bits0ALTV 44136
Description: Value of the zeroth bit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) (Revised by AV, 19-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
bits0ALTV (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ Odd ))

Proof of Theorem bits0ALTV
StepHypRef Expression
1 0nn0 11900 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 bitsval2 15763 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0)))))
31, 2mpan2 690 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0)))))
4 2cn 11700 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
5 exp0 13429 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑0) = 1
76oveq2i 7151 . . . . . . 7 (𝑁 / (2↑0)) = (𝑁 / 1)
8 zcn 11974 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
98div1d 11397 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 1) = 𝑁)
107, 9syl5eq 2869 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2↑0)) = 𝑁)
1110fveq2d 6656 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = (⌊‘𝑁))
12 flid 13173 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
1311, 12eqtrd 2857 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) = 𝑁)
1413breq2d 5054 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) ↔ 2 ∥ 𝑁))
1514notbid 321 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑0))) ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
16 isodd3 44109 . . 3 (𝑁 ∈ Odd ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁))
1716baibr 540 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ Odd ))
183, 15, 173bitrd 308 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑁 ∈ Odd ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   / cdiv 11286  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cfl 13155  cexp 13425  cdvds 15598  bitscbits 15757   Odd codd 44082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-dvds 15599  df-bits 15760  df-odd 44084
This theorem is referenced by:  bits0eALTV  44137  bits0oALTV  44138
  Copyright terms: Public domain W3C validator