Theorem s3s4 14715

Description: Concatenation of fixed length strings. (Contributed by AV, 1-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
s3s4	⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩)

Proof of Theorem s3s4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2s2 14711	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩)
2	1	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3	2	oveq1i 7323	. 2 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
4		s2cli 14662	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V
5		s3cli 14663	. . 3 ⊢ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩ ∈ Word V
6		df-s3 14631	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
7		s1s3 14706	. . 3 ⊢ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
8	4, 5, 6, 7	cats2cat 14644	. 2 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩) = ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶𝐷”⟩) ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
9		s4s3 14713	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ++ ⟨“𝐸𝐹𝐺”⟩)
10	3, 8, 9	3eqtr4ri 2776	1 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷𝐸𝐹𝐺”⟩)

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7313   ++ cconcat 14342  ⟨“cs2 14623  ⟨“cs3 14624  ⟨“cs4 14625  ⟨“cs7 14628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-hash 14115  df-word 14287  df-concat 14343  df-s1 14370  df-s2 14630  df-s3 14631  df-s4 14632  df-s5 14633  df-s6 14634  df-s7 14635

This theorem is referenced by:  s2s5  14716  konigsberglem1  28724  konigsberglem2  28725  konigsberglem3  28726