Theorem ccatdmss 14505

Description: The domain of a concatenated word is a superset of the domain of the first word. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatdmss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
ccatdmss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ccatdmss	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ dom (𝐴 ++ 𝐵))

Proof of Theorem ccatdmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatdmss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
2		lencl 14456	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5		ccatdmss.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
6		ccatcl 14497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
8		lencl 14456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℤ)
11	3	nn0red 12463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		lencl 14456	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14		nn0addge1 12447	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
16		ccatlen 14498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
17	1, 5, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
18	15, 17	breqtrrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
19		eluz2 12757	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
20	4, 10, 18, 19	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)))
21		fzoss2 13603	. . 3 ⊢ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)) → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
23		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴))
24	23, 1	wrdfd 14442	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑆)
25	24	fdmd 6672	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
26		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
27	26, 7	wrdfd 14442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):(0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))⟶𝑆)
28	27	fdmd 6672	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 ++ 𝐵) = (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
29	22, 25, 28	3sstr4d 3989	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ dom (𝐴 ++ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   + caddc 11029   ≤ cle 11167  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436   ++ cconcat 14493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494

This theorem is referenced by:  chnind  18544