Theorem ccatdmss 14544

Description: The domain of a concatenated word is a superset of the domain of the first word. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatdmss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
ccatdmss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ccatdmss	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ dom (𝐴 ++ 𝐵))

Proof of Theorem ccatdmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatdmss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
2		lencl 14495	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5		ccatdmss.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
6		ccatcl 14536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
7	1, 5, 6	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
8		lencl 14495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℤ)
11	3	nn0red 12499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		lencl 14495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14		nn0addge1 12483	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
16		ccatlen 14537	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
17	1, 5, 16	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
18	15, 17	breqtrrd 5113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
19		eluz2 12794	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
20	4, 10, 18, 19	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)))
21		fzoss2 13642	. . 3 ⊢ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)) → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
23		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴))
24	23, 1	wrdfd 14481	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑆)
25	24	fdmd 6678	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
26		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
27	26, 7	wrdfd 14481	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):(0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))⟶𝑆)
28	27	fdmd 6678	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 ++ 𝐵) = (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
29	22, 25, 28	3sstr4d 3977	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ dom (𝐴 ++ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475   ++ cconcat 14532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533

This theorem is referenced by:  chnind  18587