Theorem ccatdmss 32816

Description: The domain of a concatenated word is a superset of the domain of the first word. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatdmss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
ccatdmss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ccatdmss	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ dom (𝐴 ++ 𝐵))

Proof of Theorem ccatdmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatdmss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
2		lencl 14536	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5		ccatdmss.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
6		ccatcl 14577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
7	1, 5, 6	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
8		lencl 14536	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℤ)
11	3	nn0red 12579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		lencl 14536	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14		nn0addge1 12564	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
16		ccatlen 14578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
17	1, 5, 16	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
18	15, 17	breqtrrd 5173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
19		eluz2 12874	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
20	4, 10, 18, 19	syl3anbrc 1340	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)))
21		fzoss2 13708	. . 3 ⊢ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)) → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
23		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴))
24	23, 1	wrdfd 32800	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑆)
25	24	fdmd 6730	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
26		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
27	26, 7	wrdfd 32800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):(0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))⟶𝑆)
28	27	fdmd 6730	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 ++ 𝐵) = (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
29	22, 25, 28	3sstr4d 4026	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ dom (𝐴 ++ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5145  dom cdm 5674  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  0cc0 11149   + caddc 11152   ≤ cle 11290  ℕ₀cn0 12518  ℤcz 12604  ℤ_≥cuz 12868  ..^cfzo 13675  ♯chash 14342  Word cword 14517   ++ cconcat 14573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-hash 14343  df-word 14518  df-concat 14574

This theorem is referenced by:  chnind  32883