Theorem ccatdmss 32935

Description: The domain of a concatenated word is a superset of the domain of the first word. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatdmss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
ccatdmss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ccatdmss	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ dom (𝐴 ++ 𝐵))

Proof of Theorem ccatdmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatdmss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
2		lencl 14572	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5		ccatdmss.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
6		ccatcl 14613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
8		lencl 14572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℤ)
11	3	nn0red 12590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		lencl 14572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	5, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14		nn0addge1 12574	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
16		ccatlen 14614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
17	1, 5, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
18	15, 17	breqtrrd 5170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
19		eluz2 12885	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
20	4, 10, 18, 19	syl3anbrc 1343	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)))
21		fzoss2 13728	. . 3 ⊢ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)) → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
23		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴))
24	23, 1	wrdfd 32919	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑆)
25	24	fdmd 6745	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
26		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
27	26, 7	wrdfd 32919	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):(0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))⟶𝑆)
28	27	fdmd 6745	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 ++ 𝐵) = (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
29	22, 25, 28	3sstr4d 4038	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ dom (𝐴 ++ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   ≤ cle 11297  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ..^cfzo 13695  ♯chash 14370  Word cword 14553   ++ cconcat 14609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610

This theorem is referenced by:  chnind  33002