Theorem ccatdmss 14728

Description: The domain of a concatenated word is a superset of the domain of the first word. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatdmss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
ccatdmss.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ccatdmss	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ dom (𝐴 ++ 𝐵))

Proof of Theorem ccatdmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatdmss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
2		lencl 14679	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12719	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5		ccatdmss.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
6		ccatcl 14720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
7	1, 5, 6	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
8		lencl 14679	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12719	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℤ)
11	3	nn0red 12669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		lencl 14679	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	5, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
14		nn0addge1 12653	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≤ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
16		ccatlen 14721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
17	1, 5, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
18	15, 17	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
19		eluz2 12972	. . . 4 ⊢ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ≤ (♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
20	4, 10, 18, 19	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)))
21		fzoss2 13823	. . 3 ⊢ ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝐴)) → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
22	20, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
23		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴))
24	23, 1	wrdfd 14665	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑆)
25	24	fdmd 6721	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
26		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
27	26, 7	wrdfd 14665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):(0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))⟶𝑆)
28	27	fdmd 6721	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 ++ 𝐵) = (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
29	22, 25, 28	3sstr4d 3984	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ dom (𝐴 ++ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11200  0cc0 11201   + caddc 11204   ≤ cle 11345  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ..^cfzo 13789  ♯chash 14475  Word cword 14659   ++ cconcat 14716

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717

This theorem is used by:  chnind  18796