Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatf1 31861
Description: Conditions for a concatenation to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatf1.s (𝜑𝑆𝑉)
ccatf1.a (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑆)
ccatf1.b (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑆)
ccatf1.1 (𝜑𝐴:dom 𝐴1-1𝑆)
ccatf1.2 (𝜑𝐵:dom 𝐵1-1𝑆)
ccatf1.3 (𝜑 → (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)
Assertion
Ref Expression
ccatf1 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):dom (𝐴 ++ 𝐵)–1-1𝑆)

Proof of Theorem ccatf1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatf1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑆)
2 ccatf1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑆)
3 ccatcl 14471 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
41, 2, 3syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
5 wrdf 14416 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → (𝐴 ++ 𝐵):(0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))⟶𝑆)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):(0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))⟶𝑆)
76ffdmd 6703 . 2 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):dom (𝐴 ++ 𝐵)⟶𝑆)
8 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗))
9 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
10 ccatval1 14474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴𝑖))
111, 2, 9, 10syl2an3an 1423 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴𝑖))
1211ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴𝑖))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
14 ccatval1 14474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐴𝑗))
151, 2, 13, 14syl2an3an 1423 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐴𝑗))
1615ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐴𝑗))
178, 12, 163eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
18 wrddm 14418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Word 𝑆 → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
20 ccatf1.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:dom 𝐴1-1𝑆)
21 f1eq2 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)) → (𝐴:dom 𝐴1-1𝑆𝐴:(0..^(♯‘𝐴))–1-1𝑆))
2221biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)) ∧ 𝐴:dom 𝐴1-1𝑆) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))–1-1𝑆)
2319, 20, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴:(0..^(♯‘𝐴))–1-1𝑆)
24 dff13 7206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴:(0..^(♯‘𝐴))–1-1𝑆 ↔ (𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑆 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
2524simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴:(0..^(♯‘𝐴))–1-1𝑆 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2726r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2827r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2928adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
3017, 29mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 = 𝑗)
3130ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
3231adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
33 f1fun 6744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴:dom 𝐴1-1𝑆 → Fun 𝐴)
3420, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Fun 𝐴)
35 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
3619adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
3735, 36eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ dom 𝐴)
38 fvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐴𝑖 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑖) ∈ ran 𝐴)
3934, 37, 38syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑖) ∈ ran 𝐴)
4039ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐴𝑖) ∈ ran 𝐴)
41 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗))
4211ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴𝑖))
431adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
442adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
45 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
46 ccatlen 14472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
471, 2, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
4847oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) = ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) = ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
5045, 49eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
51 ccatval2 14475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
5243, 44, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
5352ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
5441, 42, 533eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐴𝑖) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
55 ccatf1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵:dom 𝐵1-1𝑆)
56 f1fun 6744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵:dom 𝐵1-1𝑆 → Fun 𝐵)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Fun 𝐵)
58 lencl 14430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
592, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6059nn0zd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
62 fzosubel3 13642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
6350, 61, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
64 wrddm 14418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ Word 𝑆 → dom 𝐵 = (0..^(♯‘𝐵)))
652, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom 𝐵 = (0..^(♯‘𝐵)))
6665adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → dom 𝐵 = (0..^(♯‘𝐵)))
6763, 66eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)
68 fvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐵 ∧ (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
6957, 67, 68syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
7069ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
7154, 70eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐴𝑖) ∈ ran 𝐵)
7240, 71elind 4158 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐴𝑖) ∈ (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵))
73 ccatf1.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)
7473ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)
7572, 74eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐴𝑖) ∈ ∅)
76 noel 4294 . . . . . . . . . . . 12 ¬ (𝐴𝑖) ∈ ∅
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ¬ (𝐴𝑖) ∈ ∅)
7875, 77pm2.21dd 194 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 = 𝑗)
7978ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
8079adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
81 wrddm 14418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → dom (𝐴 ++ 𝐵) = (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
824, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (𝐴 ++ 𝐵) = (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
8382eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ↔ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
8483biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
85 lencl 14430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
861, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
8786nn0zd 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
8887adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
89 fzospliti 13613 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
9084, 88, 89syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
9190ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
9232, 80, 91mpjaod 859 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 = 𝑗)
9392ex 414 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
9493adantlrl 719 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
95 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
9619adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
9795, 96eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑗 ∈ dom 𝐴)
98 fvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐴𝑗 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑗) ∈ ran 𝐴)
9934, 97, 98syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) ∈ ran 𝐴)
10099ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) ∈ ran 𝐴)
101 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗))
1021adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
1032adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
104 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
10548adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) = ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
106104, 105eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
107 ccatval2 14475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
108102, 103, 106, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
109108ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
11015ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐴𝑗))
111101, 109, 1103eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
11260adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
113 fzosubel3 13642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
114106, 112, 113syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
11565adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → dom 𝐵 = (0..^(♯‘𝐵)))
116114, 115eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)
117 fvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐵 ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
11857, 116, 117syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
119118ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
120111, 119eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) ∈ ran 𝐵)
121100, 120elind 4158 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) ∈ (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵))
12273ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)
123121, 122eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) ∈ ∅)
124 noel 4294 . . . . . . . . . . . 12 ¬ (𝐴𝑗) ∈ ∅
125124a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ¬ (𝐴𝑗) ∈ ∅)
126123, 125pm2.21dd 194 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 = 𝑗)
127126ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
128127adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
129 elfzoelz 13581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 ∈ ℤ)
130129zcnd 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 ∈ ℂ)
131130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 ∈ ℂ)
132 elfzoelz 13581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑗 ∈ ℤ)
133132zcnd 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑗 ∈ ℂ)
134133adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑗 ∈ ℂ)
13586nn0cnd 12483 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
136135ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13755ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝐵:dom 𝐵1-1𝑆)
138116ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)
13967ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)
140138, 139jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵 ∧ (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵))
141 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗))
142108ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
14352ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
144141, 142, 1433eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
145 f1veqaeq 7208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵:dom 𝐵1-1𝑆 ∧ ((𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵 ∧ (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)) → ((𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) = (𝑗 − (♯‘𝐴))))
146145imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵:dom 𝐵1-1𝑆 ∧ ((𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵 ∧ (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)) ∧ (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴)))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) = (𝑗 − (♯‘𝐴)))
147137, 140, 144, 146syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) = (𝑗 − (♯‘𝐴)))
148131, 134, 136, 147subcan2d 11562 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 = 𝑗)
149148ex 414 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
150149adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
15190ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
152128, 150, 151mpjaod 859 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 = 𝑗)
153152ex 414 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
154153adantlrl 719 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
15582eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
156155biimpa 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
15787adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
158 fzospliti 13613 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
159156, 157, 158syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
160159adantrr 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
161160adantr 482 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
16294, 154, 161mpjaod 859 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → 𝑖 = 𝑗)
163162ex 414 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) → (((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
164163ralrimivva 3194 . 2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)∀𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)(((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
165 dff13 7206 . 2 ((𝐴 ++ 𝐵):dom (𝐴 ++ 𝐵)–1-1𝑆 ↔ ((𝐴 ++ 𝐵):dom (𝐴 ++ 𝐵)⟶𝑆 ∧ ∀𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)∀𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)(((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
1667, 164, 165sylanbrc 584 1 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):dom (𝐴 ++ 𝐵)–1-1𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  cin 3913  c0 4286  dom cdm 5637  ran crn 5638  Fun wfun 6494  wf 6496  1-1wf1 6497  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057  0cc0 11059   + caddc 11062  cmin 11393  0cn0 12421  cz 12507  ..^cfzo 13576  chash 14239  Word cword 14411   ++ cconcat 14467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468
This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  32029
  Copyright terms: Public domain W3C validator