Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatf1 30612
 Description: Conditions for a concatenation to be injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatf1.s (𝜑𝑆𝑉)
ccatf1.a (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑆)
ccatf1.b (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑆)
ccatf1.1 (𝜑𝐴:dom 𝐴1-1𝑆)
ccatf1.2 (𝜑𝐵:dom 𝐵1-1𝑆)
ccatf1.3 (𝜑 → (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)
Assertion
Ref Expression
ccatf1 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):dom (𝐴 ++ 𝐵)–1-1𝑆)

Proof of Theorem ccatf1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatf1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑆)
2 ccatf1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑆)
3 ccatcl 13905 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
41, 2, 3syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
5 wrdf 13850 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → (𝐴 ++ 𝐵):(0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))⟶𝑆)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):(0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))⟶𝑆)
76ffdmd 6510 . 2 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):dom (𝐴 ++ 𝐵)⟶𝑆)
8 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗))
9 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
10 ccatval1 13909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴𝑖))
111, 2, 9, 10syl2an3an 1419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴𝑖))
1211ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴𝑖))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
14 ccatval1 13909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐴𝑗))
151, 2, 13, 14syl2an3an 1419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐴𝑗))
1615ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐴𝑗))
178, 12, 163eqtr3d 2864 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
18 wrddm 13852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Word 𝑆 → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
20 ccatf1.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:dom 𝐴1-1𝑆)
21 f1eq2 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)) → (𝐴:dom 𝐴1-1𝑆𝐴:(0..^(♯‘𝐴))–1-1𝑆))
2221biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)) ∧ 𝐴:dom 𝐴1-1𝑆) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))–1-1𝑆)
2319, 20, 22syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴:(0..^(♯‘𝐴))–1-1𝑆)
24 dff13 6987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴:(0..^(♯‘𝐴))–1-1𝑆 ↔ (𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑆 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
2524simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴:(0..^(♯‘𝐴))–1-1𝑆 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2726r19.21bi 3196 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2827r19.21bi 3196 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
2928adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴𝑖) = (𝐴𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
3017, 29mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 = 𝑗)
3130ex 416 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
3231adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
33 f1fun 6550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴:dom 𝐴1-1𝑆 → Fun 𝐴)
3420, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Fun 𝐴)
35 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
3619adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
3735, 36eleqtrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ dom 𝐴)
38 fvelrn 6817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐴𝑖 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑖) ∈ ran 𝐴)
3934, 37, 38syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑖) ∈ ran 𝐴)
4039ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐴𝑖) ∈ ran 𝐴)
41 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗))
4211ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴𝑖))
431adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
442adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
45 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
46 ccatlen 13906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
471, 2, 46syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
4847oveq2d 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) = ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
4948adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) = ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
5045, 49eleqtrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
51 ccatval2 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
5243, 44, 50, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
5352ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
5441, 42, 533eqtr3d 2864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐴𝑖) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
55 ccatf1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵:dom 𝐵1-1𝑆)
56 f1fun 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵:dom 𝐵1-1𝑆 → Fun 𝐵)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Fun 𝐵)
58 lencl 13864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
592, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
6059nn0zd 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
62 fzosubel3 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
6350, 61, 62syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
64 wrddm 13852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ Word 𝑆 → dom 𝐵 = (0..^(♯‘𝐵)))
652, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom 𝐵 = (0..^(♯‘𝐵)))
6665adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → dom 𝐵 = (0..^(♯‘𝐵)))
6763, 66eleqtrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)
68 fvelrn 6817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐵 ∧ (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
6957, 67, 68syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
7069ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
7154, 70eqeltrd 2912 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐴𝑖) ∈ ran 𝐵)
7240, 71elind 4146 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐴𝑖) ∈ (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵))
73 ccatf1.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)
7473ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)
7572, 74eleqtrd 2914 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐴𝑖) ∈ ∅)
76 noel 4270 . . . . . . . . . . . 12 ¬ (𝐴𝑖) ∈ ∅
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ¬ (𝐴𝑖) ∈ ∅)
7875, 77pm2.21dd 198 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 = 𝑗)
7978ex 416 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
8079adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
81 wrddm 13852 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → dom (𝐴 ++ 𝐵) = (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
824, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (𝐴 ++ 𝐵) = (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
8382eleq2d 2897 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ↔ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
8483biimpa 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
85 lencl 13864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
861, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
8786nn0zd 12063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
8887adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
89 fzospliti 13052 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
9084, 88, 89syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
9190ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
9232, 80, 91mpjaod 857 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 = 𝑗)
9392ex 416 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
9493adantlrl 719 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
95 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
9619adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
9795, 96eleqtrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑗 ∈ dom 𝐴)
98 fvelrn 6817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐴𝑗 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑗) ∈ ran 𝐴)
9934, 97, 98syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) ∈ ran 𝐴)
10099ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) ∈ ran 𝐴)
101 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗))
1021adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
1032adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
104 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
10548adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) = ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
106104, 105eleqtrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
107 ccatval2 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
108102, 103, 106, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
109108ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
11015ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐴𝑗))
111101, 109, 1103eqtr3rd 2865 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
11260adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
113 fzosubel3 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
114106, 112, 113syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
11565adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → dom 𝐵 = (0..^(♯‘𝐵)))
116114, 115eleqtrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)
117 fvelrn 6817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐵 ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
11857, 116, 117syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
119118ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) ∈ ran 𝐵)
120111, 119eqeltrd 2912 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) ∈ ran 𝐵)
121100, 120elind 4146 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) ∈ (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵))
12273ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (ran 𝐴 ∩ ran 𝐵) = ∅)
123121, 122eleqtrd 2914 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑗) ∈ ∅)
124 noel 4270 . . . . . . . . . . . 12 ¬ (𝐴𝑗) ∈ ∅
125124a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ¬ (𝐴𝑗) ∈ ∅)
126123, 125pm2.21dd 198 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 = 𝑗)
127126ex 416 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
128127adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → 𝑖 = 𝑗))
129 elfzoelz 13021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 ∈ ℤ)
130129zcnd 12066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 ∈ ℂ)
131130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 ∈ ℂ)
132 elfzoelz 13021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑗 ∈ ℤ)
133132zcnd 12066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑗 ∈ ℂ)
134133adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑗 ∈ ℂ)
13586nn0cnd 11935 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
136135ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13755ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝐵:dom 𝐵1-1𝑆)
138116ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)
13967ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)
140138, 139jca 515 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵 ∧ (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵))
141 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗))
142108ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
14352ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
144141, 142, 1433eqtr3d 2864 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))))
145 f1veqaeq 6989 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵:dom 𝐵1-1𝑆 ∧ ((𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵 ∧ (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)) → ((𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) = (𝑗 − (♯‘𝐴))))
146145imp 410 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵:dom 𝐵1-1𝑆 ∧ ((𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵 ∧ (𝑗 − (♯‘𝐴)) ∈ dom 𝐵)) ∧ (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘(𝑗 − (♯‘𝐴)))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) = (𝑗 − (♯‘𝐴)))
147137, 140, 144, 146syl21anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) = (𝑗 − (♯‘𝐴)))
148131, 134, 136, 147subcan2d 11016 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 = 𝑗)
149148ex 416 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
150149adantllr 718 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
15190ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑗 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
152128, 150, 151mpjaod 857 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → 𝑖 = 𝑗)
153152ex 416 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
154153adantlrl 719 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → 𝑖 = 𝑗))
15582eleq2d 2897 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
156155biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))
15787adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
158 fzospliti 13052 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
159156, 157, 158syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
160159adantrr 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
161160adantr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
16294, 154, 161mpjaod 857 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗)) → 𝑖 = 𝑗)
163162ex 416 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵))) → (((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
164163ralrimivva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)∀𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)(((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))
165 dff13 6987 . 2 ((𝐴 ++ 𝐵):dom (𝐴 ++ 𝐵)–1-1𝑆 ↔ ((𝐴 ++ 𝐵):dom (𝐴 ++ 𝐵)⟶𝑆 ∧ ∀𝑖 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)∀𝑗 ∈ dom (𝐴 ++ 𝐵)(((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
1667, 164, 165sylanbrc 586 1 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵):dom (𝐴 ++ 𝐵)–1-1𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126   ∩ cin 3909  ∅c0 4266  dom cdm 5528  ran crn 5529  Fun wfun 6322  ⟶wf 6324  –1-1→wf1 6325  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℂcc 10512  0cc0 10514   + caddc 10517   − cmin 10847  ℕ0cn0 11875  ℤcz 11959  ..^cfzo 13016  ♯chash 13674  Word cword 13845   ++ cconcat 13901 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-hash 13675  df-word 13846  df-concat 13902 This theorem is referenced by:  cycpmco2f1  30774
 Copyright terms: Public domain W3C validator