Theorem cgr3tr 28993

Description: Transitivity law for three-place congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
cgr3tr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑃)
cgr3tr.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑃)
cgr3tr.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑃)
cgr3tr.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∼ ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgr3tr	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)

Proof of Theorem cgr3tr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgcgrxfr.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgcgrxfr.r	. 2 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
4		tgcgrxfr.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbtwnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tgbtwnxfr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tgbtwnxfr.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		cgr3tr.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑃)
9		cgr3tr.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑃)
10		cgr3tr.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑃)
11		tgcgrxfr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12		tgbtwnxfr.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		tgbtwnxfr.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		tgbtwnxfr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
15		tgbtwnxfr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
16	1, 2, 11, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15	cgr3simp1 28984	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
17		cgr3tr.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∼ ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
18	1, 2, 11, 3, 4, 12, 13, 14, 8, 9, 10, 17	cgr3simp1 28984	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) = (𝐽 − 𝐾))
19	16, 18	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐽 − 𝐾))
20	1, 2, 11, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15	cgr3simp2 28985	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
21	1, 2, 11, 3, 4, 12, 13, 14, 8, 9, 10, 17	cgr3simp2 28985	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐹) = (𝐾 − 𝐿))
22	20, 21	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐾 − 𝐿))
23	1, 2, 11, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15	cgr3simp3 28986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
24	1, 2, 11, 3, 4, 12, 13, 14, 8, 9, 10, 17	cgr3simp3 28986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐷) = (𝐿 − 𝐽))
25	23, 24	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐿 − 𝐽))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 22, 25	trgcgr 28980	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ⟨“cs3 14994  Basecbs 17388  distcds 17438  TarskiGcstrkg 28890  Itvcitv 28896  cgrGccgrg 28974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-s3 15001  df-trkgc 28911  df-trkgcb 28913  df-trkg 28916  df-cgrg 28975

This theorem is used by:  tgbtwnxfr  28994