Theorem chninf 18547

Description: There is an infinite number of chains for any infinite alphabet and any relation. For instance, all the singletons of alphabet characters match. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chninf	⊢ (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin)

Proof of Theorem chninf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)
2	1	s1chn 18532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴))
3	2	rgen 3049	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴)
4		s111 14529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ ↔ 𝑦 = 𝑥))
5	4	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥))
6	5	rgen2 3172	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥))
8		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩)
9		s1eq 14514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩)
10	8, 9	f1mpt 7201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥)))
11	7, 10	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴)
12		f1fi 9204	. . . . 5 ⊢ ((( < Chain 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
13	11, 12	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (( < Chain 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (( < Chain 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
15	14	nelcon3d 3036	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin))
16	15	mptru 1548	1 ⊢ (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032  ∀wral 3047   ↦ cmpt 5174  –1-1→wf1 6484  Fincfn 8875  ⟨“cs1 14509   Chain cchn 18517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-hash 14244  df-word 14427  df-s1 14510  df-chn 18518

This theorem is referenced by:  chnfibg  18548