Theorem chninf 18601

Description: There is an infinite number of chains for any infinite alphabet and any relation. For instance, all the singletons of alphabet characters match. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chninf	⊢ (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin)

Proof of Theorem chninf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)
2	1	s1chn 18586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴))
3	2	rgen 3054	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴)
4		s111 14578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ ↔ 𝑦 = 𝑥))
5	4	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥))
6	5	rgen2 3178	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩)
9		s1eq 14563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩)
10	8, 9	f1mpt 7216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥)))
11	7, 10	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴)
12		f1fi 9224	. . . . 5 ⊢ ((( < Chain 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
13	11, 12	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (( < Chain 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (( < Chain 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
15	14	nelcon3d 3041	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin))
16	15	mptru 1549	1 ⊢ (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052   ↦ cmpt 5167  –1-1→wf1 6496  Fincfn 8893  ⟨“cs1 14558   Chain cchn 18571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-s1 14559  df-chn 18572

This theorem is referenced by:  chnfibg  18602