Theorem chninf 18770

Description: There is an infinite number of chains for any infinite alphabet and any relation. For instance, all the singletons of alphabet characters match. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chninf	⊢ (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin)

Proof of Theorem chninf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)
2	1	s1chn 18755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴))
3	2	rgen 3078	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴)
4		s111 14730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ ↔ 𝑦 = 𝑥))
5	4	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥))
6	5	rgen2 3202	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥)
7	3, 6	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥))
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩)
9		s1eq 14714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩)
10	8, 9	f1mpt 7253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥)))
11	7, 10	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴)
12		f1fi 9284	. . . . 5 ⊢ ((( < Chain 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
13	11, 12	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (( < Chain 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (( < Chain 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
15	14	nelcon3d 3065	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin))
16	15	mptru 1577	1 ⊢ (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5185  –1-1→wf1 6524  Fincfn 8951  ⟨“cs1 14709   Chain cchn 18740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-s1 14710  df-chn 18741

This theorem is used by:  chnfibg  18771