Theorem chninf 18562

Description: There is an infinite number of chains for any infinite alphabet and any relation. For instance, all the singletons of alphabet characters match. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chninf	⊢ (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin)

Proof of Theorem chninf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)
2	1	s1chn 18547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴))
3	2	rgen 3054	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴)
4		s111 14543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ ↔ 𝑦 = 𝑥))
5	4	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥))
6	5	rgen2 3177	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩)
9		s1eq 14528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩)
10	8, 9	f1mpt 7209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⟨“𝑦”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨“𝑦”⟩ = ⟨“𝑥”⟩ → 𝑦 = 𝑥)))
11	7, 10	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴)
12		f1fi 9218	. . . . 5 ⊢ ((( < Chain 𝐴) ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⟨“𝑦”⟩):𝐴–1-1→( < Chain 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
13	11, 12	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (( < Chain 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (( < Chain 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
15	14	nelcon3d 3041	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin))
16	15	mptru 1549	1 ⊢ (𝐴 ∉ Fin → ( < Chain 𝐴) ∉ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052   ↦ cmpt 5180  –1-1→wf1 6490  Fincfn 8887  ⟨“cs1 14523   Chain cchn 18532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-s1 14524  df-chn 18533

This theorem is referenced by:  chnfibg  18563