Theorem chnfi 18638

Description: There is a finite number of chains over finite domain, as long as the relation orders it. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chnfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem chnfi

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrab 5000	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} = {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛}
2		simplr 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → < Po 𝐴)
3		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴))
4		simpll 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	chnpolfz 18637	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → (♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
6		risset 3227	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑥))
7		eqcom 2759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 𝑛)
8	7	rexbii 3099	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
9	6, 8	bitri 277	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
10	5, 9	sylib 220	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
11	10	rabeqcda 3415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛} = ( < Chain 𝐴))
12	1, 11	eqtr2id 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) = ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛})
13		fzfid 13972	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → (0...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
14		chnflenfi 18632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
15	14	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
16	15	ralrimivw 3148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ∀𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
17		iunfi 9272	. . 3 ⊢ (((0...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin) → ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
18	13, 16, 17	syl2anc 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
19	12, 18	eqeltrd 2852	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066  ∃wrex 3076  {crab 3404  ∪ ciun 4939   Po wpo 5542  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Fincfn 8912  0cc0 11059  ...cfz 13498  ♯chash 14329   Chain cchn 18609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-oadd 8425  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-word 14513  df-lsw 14562  df-concat 14570  df-s1 14596  df-substr 14641  df-pfx 14671  df-chn 18610

This theorem is referenced by:  chnfibg  18640