Theorem chnfi 18808

Description: There is a finite number of chains over finite domain, as long as the relation orders it. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chnfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem chnfi

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrab 5010	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} = {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛}
2		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → < Po 𝐴)
3		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴))
4		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	chnpolfz 18807	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → (♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
6		risset 3237	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑥))
7		eqcom 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 𝑛)
8	7	rexbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
9	6, 8	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
10	5, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
11	10	rabeqcda 3423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛} = ( < Chain 𝐴))
12	1, 11	eqtr2id 2808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) = ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛})
13		fzfid 14116	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → (0...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
14		chnflenfi 18802	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
16	15	ralrimivw 3158	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ∀𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
17		iunfi 9332	. . 3 ⊢ (((0...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin) → ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
18	13, 16, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
19	12, 18	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  ∪ ciun 4950   Po wpo 5556  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  0cc0 11200  ...cfz 13639  ♯chash 14474   Chain cchn 18779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-chn 18780

This theorem is used by:  chnfibg  18810