Theorem chnfi 18557

Description: There is a finite number of chains over finite domain, as long as the relation orders it. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chnfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem chnfi

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrab 5008	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} = {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛}
2		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → < Po 𝐴)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴))
4		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	chnpolfz 18556	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → (♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
6		risset 3211	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑥))
7		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 𝑛)
8	7	rexbii 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
9	6, 8	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
10	5, 9	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
11	10	rabeqcda 3410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛} = ( < Chain 𝐴))
12	1, 11	eqtr2id 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) = ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛})
13		fzfid 13896	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → (0...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
14		chnflenfi 18551	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
16	15	ralrimivw 3132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ∀𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
17		iunfi 9243	. . 3 ⊢ (((0...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin) → ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
18	13, 16, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
19	12, 18	eqeltrd 2836	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  ∪ ciun 4946   Po wpo 5530  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  0cc0 11026  ...cfz 13423  ♯chash 14253   Chain cchn 18528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-word 14437  df-lsw 14486  df-concat 14494  df-s1 14520  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-chn 18529

This theorem is referenced by:  chnfibg  18559