Theorem chnfi 18676

Description: There is a finite number of chains over finite domain, as long as the relation orders it. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chnfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem chnfi

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrab 5011	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} = {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛}
2		simplr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → < Po 𝐴)
3		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴))
4		simpll 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	chnpolfz 18675	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → (♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
6		risset 3238	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑥))
7		eqcom 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 𝑛)
8	7	rexbii 3110	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
9	6, 8	bitri 277	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
10	5, 9	sylib 220	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
11	10	rabeqcda 3426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛} = ( < Chain 𝐴))
12	1, 11	eqtr2id 2811	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) = ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛})
13		fzfid 13996	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → (0...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
14		chnflenfi 18670	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
15	14	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
16	15	ralrimivw 3159	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ∀𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
17		iunfi 9284	. . 3 ⊢ (((0...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin) → ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
18	13, 16, 17	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
19	12, 18	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3415  ∪ ciun 4950   Po wpo 5554  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  0cc0 11084  ...cfz 13522  ♯chash 14353   Chain cchn 18647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9871  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-n0 12492  df-xnn0 12565  df-z 12579  df-uz 12850  df-rp 13004  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-word 14537  df-lsw 14586  df-concat 14594  df-s1 14620  df-substr 14665  df-pfx 14695  df-chn 18648

This theorem is referenced by:  chnfibg  18678