Theorem chnfi 18689

Description: There is a finite number of chains over finite domain, as long as the relation orders it. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chnfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) ∈ Fin)

Proof of Theorem chnfi

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrab 5016	. . 3 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} = {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛}
2		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → < Po 𝐴)
3		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴))
4		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	chnpolfz 18688	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → (♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
6		risset 3238	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑥))
7		eqcom 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 𝑛)
8	7	rexbii 3110	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))𝑛 = (♯‘𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
9	6, 8	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
10	5, 9	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛)
11	10	rabeqcda 3425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴))(♯‘𝑥) = 𝑛} = ( < Chain 𝐴))
12	1, 11	eqtr2id 2809	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) = ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛})
13		fzfid 14008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → (0...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
14		chnflenfi 18683	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → {𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
16	15	ralrimivw 3159	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ∀𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
17		iunfi 9299	. . 3 ⊢ (((0...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin) → ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
18	13, 16, 17	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ (0...(♯‘𝐴)){𝑥 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑥) = 𝑛} ∈ Fin)
19	12, 18	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ < Po 𝐴) → ( < Chain 𝐴) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3414  ∪ ciun 4955   Po wpo 5567  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8942  0cc0 11099  ...cfz 13534  ♯chash 14365   Chain cchn 18660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-chn 18661

This theorem is referenced by:  chnfibg  18691