Theorem climaddc1 15161

Description: Limit of a constant 𝐶 added to each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climaddc1.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climaddc1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climaddc1.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
climaddc1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐴 + 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climaddc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climadd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climaddc1.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
5		climaddc1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6		0z 12152	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		uzssz 12424	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
8		zex 12150	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
9	7, 8	climconst2 15074	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
10	5, 6, 9	sylancl 589	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
11		climaddc1.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12		eluzelz 12413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
13	12, 1	eleq2s 2849	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
14		fvconst2g 6995	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
15	5, 13, 14	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
16	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	15, 16	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
18		climaddc1.h	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + 𝐶))
19	15	oveq2d 7207	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) + ((ℤ × {𝐶})‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) + 𝐶))
20	18, 19	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + ((ℤ × {𝐶})‘𝑘)))
21	1, 2, 3, 4, 10, 11, 17, 20	climadd 15158	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐴 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {csn 4527   class class class wbr 5039   × cxp 5534  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  0cc0 10694   + caddc 10697  ℤcz 12141  ℤ_≥cuz 12403   ⇝ cli 15010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014

This theorem is referenced by:  climaddc2  15162  clim2ser2  15184  lgamcvg2  25891