MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climaddc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climaddc1 14986
Description: Limit of a constant 𝐶 added to each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climaddc1.5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6 (𝜑𝐺𝑊)
climaddc1.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climaddc1.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘) + 𝐶))
Assertion
Ref Expression
climaddc1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐴 + 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climaddc1
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climadd.4 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 climaddc1.6 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
5 climaddc1.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6 0z 11984 . . 3 0 ∈ ℤ
7 uzssz 12256 . . . 4 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
8 zex 11982 . . . 4 ℤ ∈ V
97, 8climconst2 14900 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
105, 6, 9sylancl 589 . 2 (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
11 climaddc1.7 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
12 eluzelz 12245 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1312, 1eleq2s 2911 . . . 4 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
14 fvconst2g 6945 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
155, 13, 14syl2an 598 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
165adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
1715, 16eqeltrd 2893 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
18 climaddc1.h . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘) + 𝐶))
1915oveq2d 7155 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + ((ℤ × {𝐶})‘𝑘)) = ((𝐹𝑘) + 𝐶))
2018, 19eqtr4d 2839 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘) + ((ℤ × {𝐶})‘𝑘)))
211, 2, 3, 4, 10, 11, 17, 20climadd 14983 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐴 + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  {csn 4528   class class class wbr 5033   × cxp 5521  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530   + caddc 10533  cz 11973  cuz 12235  cli 14836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840
This theorem is referenced by:  climaddc2  14987  clim2ser2  15007  lgamcvg2  25643
  Copyright terms: Public domain W3C validator