![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > climmulc2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Limit of a sequence multiplied by a constant ๐ถ. Corollary 12-2.2 of [Gleason] p. 171. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
climadd.1 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
climadd.2 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
climadd.4 | โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) |
climaddc1.5 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
climaddc1.6 | โข (๐ โ ๐บ โ ๐) |
climaddc1.7 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
climmulc2.h | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = (๐ถ ยท (๐นโ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
climmulc2 | โข (๐ โ ๐บ โ (๐ถ ยท ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | climadd.1 | . 2 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
2 | climadd.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
3 | climaddc1.5 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | 0z 12569 | . . 3 โข 0 โ โค | |
5 | uzssz 12843 | . . . 4 โข (โคโฅโ0) โ โค | |
6 | zex 12567 | . . . 4 โข โค โ V | |
7 | 5, 6 | climconst2 15492 | . . 3 โข ((๐ถ โ โ โง 0 โ โค) โ (โค ร {๐ถ}) โ ๐ถ) |
8 | 3, 4, 7 | sylancl 587 | . 2 โข (๐ โ (โค ร {๐ถ}) โ ๐ถ) |
9 | climaddc1.6 | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ ๐) | |
10 | climadd.4 | . 2 โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) | |
11 | eluzelz 12832 | . . . . 5 โข (๐ โ (โคโฅโ๐) โ ๐ โ โค) | |
12 | 11, 1 | eleq2s 2852 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐ โ โค) |
13 | fvconst2g 7203 | . . . 4 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ โ โค) โ ((โค ร {๐ถ})โ๐) = ๐ถ) | |
14 | 3, 12, 13 | syl2an 597 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((โค ร {๐ถ})โ๐) = ๐ถ) |
15 | 3 | adantr 482 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ โ โ) |
16 | 14, 15 | eqeltrd 2834 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((โค ร {๐ถ})โ๐) โ โ) |
17 | climaddc1.7 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) | |
18 | climmulc2.h | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = (๐ถ ยท (๐นโ๐))) | |
19 | 14 | oveq1d 7424 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (((โค ร {๐ถ})โ๐) ยท (๐นโ๐)) = (๐ถ ยท (๐นโ๐))) |
20 | 18, 19 | eqtr4d 2776 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = (((โค ร {๐ถ})โ๐) ยท (๐นโ๐))) |
21 | 1, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20 | climmul 15577 | 1 โข (๐ โ ๐บ โ (๐ถ ยท ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 {csn 4629 class class class wbr 5149 ร cxp 5675 โcfv 6544 (class class class)co 7409 โcc 11108 0cc0 11110 ยท cmul 11115 โคcz 12558 โคโฅcuz 12822 โ cli 15428 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-sup 9437 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-n0 12473 df-z 12559 df-uz 12823 df-rp 12975 df-seq 13967 df-exp 14028 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-clim 15432 |
This theorem is referenced by: isermulc2 15604 geolim 15816 geo2lim 15821 clim2prod 15834 clim2div 15835 itg1climres 25232 itg2monolem1 25268 circum 34659 faclimlem2 34714 geomcau 36627 radcnvrat 43073 wallispi 44786 stirlinglem1 44790 stirlinglem7 44796 stirlinglem15 44804 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |