Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmulc2 15055
 Description: Limit of a sequence multiplied by a constant 𝐶. Corollary 12-2.2 of [Gleason] p. 171. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climaddc1.5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climmulc2.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climmulc2 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐶 · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climmulc2
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climaddc1.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 0z 12045 . . 3 0 ∈ ℤ
5 uzssz 12317 . . . 4 (ℤ‘0) ⊆ ℤ
6 zex 12043 . . . 4 ℤ ∈ V
75, 6climconst2 14967 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
83, 4, 7sylancl 589 . 2 (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
9 climaddc1.6 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
10 climadd.4 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
11 eluzelz 12306 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1211, 1eleq2s 2871 . . . 4 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
13 fvconst2g 6962 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
143, 12, 13syl2an 598 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
153adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
1614, 15eqeltrd 2853 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
17 climaddc1.7 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 climmulc2.h . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
1914oveq1d 7172 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) · (𝐹𝑘)) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
2018, 19eqtr4d 2797 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) · (𝐹𝑘)))
211, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20climmul 15051 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐶 · 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {csn 4526   class class class wbr 5037   × cxp 5527  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  ℂcc 10587  0cc0 10589   · cmul 10594  ℤcz 12034  ℤ≥cuz 12296   ⇝ cli 14903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-sup 8953  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-rp 12445  df-seq 13433  df-exp 13494  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-clim 14907 This theorem is referenced by:  isermulc2  15076  geolim  15288  geo2lim  15293  clim2prod  15306  clim2div  15307  itg1climres  24429  itg2monolem1  24465  circum  33162  faclimlem2  33239  geomcau  35513  radcnvrat  41437  wallispi  43124  stirlinglem1  43128  stirlinglem7  43134  stirlinglem15  43142
 Copyright terms: Public domain W3C validator