Theorem climmulc2 15511

Description: Limit of a sequence multiplied by a constant 𝐶. Corollary 12-2.2 of [Gleason] p. 171. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climaddc1.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
climaddc1.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climaddc1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climmulc2.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climmulc2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐶 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climmulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climaddc1.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		0z 12506	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		uzssz 12780	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘0) ⊆ ℤ
6		zex 12504	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
7	5, 6	climconst2 15422	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℤ) → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
8	3, 4, 7	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤ × {𝐶}) ⇝ 𝐶)
9		climaddc1.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
10		climadd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
11		eluzelz 12769	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11, 1	eleq2s 2856	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
13		fvconst2g 7147	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
14	3, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) = 𝐶)
15	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	14, 15	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((ℤ × {𝐶})‘𝑘) ∈ ℂ)
17		climaddc1.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		climmulc2.h	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))
19	14	oveq1d 7368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))
20	18, 19	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (((ℤ × {𝐶})‘𝑘) · (𝐹‘𝑘)))
21	1, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20	climmul 15507	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐶 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5629  ‘cfv 6493  (class class class)co 7353  ℂcc 11045  0cc0 11047   · cmul 11052  ℤcz 12495  ℤ_≥cuz 12759   ⇝ cli 15358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-seq 13899  df-exp 13960  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362

This theorem is referenced by:  isermulc2  15534  geolim  15747  geo2lim  15752  clim2prod  15765  clim2div  15766  itg1climres  25063  itg2monolem1  25099  circum  34131  faclimlem2  34187  geomcau  36185  radcnvrat  42536  wallispi  44243  stirlinglem1  44247  stirlinglem7  44253  stirlinglem15  44261