![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > climmulc2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Limit of a sequence multiplied by a constant ๐ถ. Corollary 12-2.2 of [Gleason] p. 171. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
climadd.1 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
climadd.2 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
climadd.4 | โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) |
climaddc1.5 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
climaddc1.6 | โข (๐ โ ๐บ โ ๐) |
climaddc1.7 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
climmulc2.h | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = (๐ถ ยท (๐นโ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
climmulc2 | โข (๐ โ ๐บ โ (๐ถ ยท ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | climadd.1 | . 2 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
2 | climadd.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
3 | climaddc1.5 | . . 3 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | 0z 12571 | . . 3 โข 0 โ โค | |
5 | uzssz 12845 | . . . 4 โข (โคโฅโ0) โ โค | |
6 | zex 12569 | . . . 4 โข โค โ V | |
7 | 5, 6 | climconst2 15494 | . . 3 โข ((๐ถ โ โ โง 0 โ โค) โ (โค ร {๐ถ}) โ ๐ถ) |
8 | 3, 4, 7 | sylancl 586 | . 2 โข (๐ โ (โค ร {๐ถ}) โ ๐ถ) |
9 | climaddc1.6 | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ ๐) | |
10 | climadd.4 | . 2 โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) | |
11 | eluzelz 12834 | . . . . 5 โข (๐ โ (โคโฅโ๐) โ ๐ โ โค) | |
12 | 11, 1 | eleq2s 2851 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐ โ โค) |
13 | fvconst2g 7205 | . . . 4 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ โ โค) โ ((โค ร {๐ถ})โ๐) = ๐ถ) | |
14 | 3, 12, 13 | syl2an 596 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((โค ร {๐ถ})โ๐) = ๐ถ) |
15 | 3 | adantr 481 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ถ โ โ) |
16 | 14, 15 | eqeltrd 2833 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((โค ร {๐ถ})โ๐) โ โ) |
17 | climaddc1.7 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) | |
18 | climmulc2.h | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = (๐ถ ยท (๐นโ๐))) | |
19 | 14 | oveq1d 7426 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (((โค ร {๐ถ})โ๐) ยท (๐นโ๐)) = (๐ถ ยท (๐นโ๐))) |
20 | 18, 19 | eqtr4d 2775 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) = (((โค ร {๐ถ})โ๐) ยท (๐นโ๐))) |
21 | 1, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20 | climmul 15579 | 1 โข (๐ โ ๐บ โ (๐ถ ยท ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 {csn 4628 class class class wbr 5148 ร cxp 5674 โcfv 6543 (class class class)co 7411 โcc 11110 0cc0 11112 ยท cmul 11117 โคcz 12560 โคโฅcuz 12824 โ cli 15430 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9439 df-pnf 11252 df-mnf 11253 df-xr 11254 df-ltxr 11255 df-le 11256 df-sub 11448 df-neg 11449 df-div 11874 df-nn 12215 df-2 12277 df-3 12278 df-n0 12475 df-z 12561 df-uz 12825 df-rp 12977 df-seq 13969 df-exp 14030 df-cj 15048 df-re 15049 df-im 15050 df-sqrt 15184 df-abs 15185 df-clim 15434 |
This theorem is referenced by: isermulc2 15606 geolim 15818 geo2lim 15823 clim2prod 15836 clim2div 15837 itg1climres 25239 itg2monolem1 25275 circum 34728 faclimlem2 34783 geomcau 36713 radcnvrat 43155 wallispi 44865 stirlinglem1 44869 stirlinglem7 44875 stirlinglem15 44883 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |