MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmulc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmulc2 15581
Description: Limit of a sequence multiplied by a constant ๐ถ. Corollary 12-2.2 of [Gleason] p. 171. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climadd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climadd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climaddc1.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
climaddc1.6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘Š)
climaddc1.7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climmulc2.h ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐ถ ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climmulc2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ (๐ถ ยท ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐ถ,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐บ   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐‘Š(๐‘˜)

Proof of Theorem climmulc2
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 climadd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 climaddc1.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 0z 12569 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
5 uzssz 12843 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โŠ† โ„ค
6 zex 12567 . . . 4 โ„ค โˆˆ V
75, 6climconst2 15492 . . 3 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ„ค ร— {๐ถ}) โ‡ ๐ถ)
83, 4, 7sylancl 587 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ค ร— {๐ถ}) โ‡ ๐ถ)
9 climaddc1.6 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘Š)
10 climadd.4 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
11 eluzelz 12832 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1211, 1eleq2s 2852 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
13 fvconst2g 7203 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค ร— {๐ถ})โ€˜๐‘˜) = ๐ถ)
143, 12, 13syl2an 597 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((โ„ค ร— {๐ถ})โ€˜๐‘˜) = ๐ถ)
153adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1614, 15eqeltrd 2834 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((โ„ค ร— {๐ถ})โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
17 climaddc1.7 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
18 climmulc2.h . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (๐ถ ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
1914oveq1d 7424 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((โ„ค ร— {๐ถ})โ€˜๐‘˜) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)) = (๐ถ ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
2018, 19eqtr4d 2776 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (((โ„ค ร— {๐ถ})โ€˜๐‘˜) ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))
211, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20climmul 15577 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ (๐ถ ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {csn 4629   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110   ยท cmul 11115  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822   โ‡ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432
This theorem is referenced by:  isermulc2  15604  geolim  15816  geo2lim  15821  clim2prod  15834  clim2div  15835  itg1climres  25232  itg2monolem1  25268  circum  34659  faclimlem2  34714  geomcau  36627  radcnvrat  43073  wallispi  44786  stirlinglem1  44790  stirlinglem7  44796  stirlinglem15  44804
  Copyright terms: Public domain W3C validator