Theorem clwwlknon1loop 30576

Description: If there is a loop at vertex 𝑋, the set of (closed) walks on 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is a singleton containing the singleton word consisting of 𝑋. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1loop	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})

Proof of Theorem clwwlknon1loop

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)) → 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩)
2		s1cl 14673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
5		eleq1 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ↔ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
6	5	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ↔ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
7	4, 6	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
8		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → {𝑋} ∈ 𝐸)
9	8	anim1ci 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩) → (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))
10	7, 9	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) ∧ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)))
11	10	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸))))
12	1, 11	impbid2 229	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)) ↔ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩))
13	12	alrimiv 1960	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → ∀𝑤((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)) ↔ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩))
14		clwwlknon1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15		clwwlknon1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
16		clwwlknon1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
17	14, 15, 16	clwwlknon1 30575	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋𝐶1) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)})
18	17	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = {⟨“𝑋”⟩}))
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = {⟨“𝑋”⟩}))
20		rabeqsn 4631	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)} = {⟨“𝑋”⟩} ↔ ∀𝑤((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)) ↔ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩))
21	19, 20	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ ∀𝑤((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑤 = ⟨“𝑋”⟩ ∧ {𝑋} ∈ 𝐸)) ↔ 𝑤 = ⟨“𝑋”⟩)))
22	13, 21	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1c1 11129  Word cword 14582  ⟨“cs1 14666  Vtxcvtx 29461  Edgcedg 29512  ClWWalksNOncclwwlknon 30565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-lsw 14632  df-s1 14667  df-clwwlk 30460  df-clwwlkn 30503  df-clwwlknon 30566

This theorem is used by:  clwwlknon1sn  30578  clwwlknon1le1  30579