Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknon1sn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknon1sn 27929
 Description: The set of (closed) walks on vertex 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is a singleton containing the singleton word consisting of 𝑋 iff there is a loop at 𝑋. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknon1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknon1sn (𝑋𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlknon1sn
StepHypRef Expression
1 df-nel 3092 . . . 4 ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
2 clwwlknon1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 clwwlknon1.c . . . . . . . 8 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
4 clwwlknon1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
52, 3, 4clwwlknon1nloop 27928 . . . . . . 7 ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
7 s1cli 13970 . . . . . . . . . 10 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
87elexi 3461 . . . . . . . . 9 ⟨“𝑋”⟩ ∈ V
98snnz 4675 . . . . . . . 8 {⟨“𝑋”⟩} ≠ ∅
109nesymi 3044 . . . . . . 7 ¬ ∅ = {⟨“𝑋”⟩}
11 eqeq1 2802 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶1) = ∅ → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ ∅ = {⟨“𝑋”⟩}))
1210, 11mtbiri 330 . . . . . 6 ((𝑋𝐶1) = ∅ → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
136, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
1413ex 416 . . . 4 (𝑋𝑉 → ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
151, 14syl5bir 246 . . 3 (𝑋𝑉 → (¬ {𝑋} ∈ 𝐸 → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
1615con4d 115 . 2 (𝑋𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} → {𝑋} ∈ 𝐸))
172, 3, 4clwwlknon1loop 27927 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
1817ex 416 . 2 (𝑋𝑉 → ({𝑋} ∈ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
1916, 18impbid 215 1 (𝑋𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091  Vcvv 3442  ∅c0 4246  {csn 4528  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1c1 10545  Word cword 13877  ⟨“cs1 13960  Vtxcvtx 26833  Edgcedg 26884  ClWWalksNOncclwwlknon 27916 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-xnn0 11976  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-hash 13707  df-word 13878  df-lsw 13926  df-s1 13961  df-clwwlk 27811  df-clwwlkn 27854  df-clwwlknon 27917 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator