Theorem clwwlknon1sn 30554

Description: The set of (closed) walks on vertex 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is a singleton containing the singleton word consisting of 𝑋 iff there is a loop at 𝑋. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1sn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlknon1sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3064	. . . 4 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
2		clwwlknon1.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		clwwlknon1.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
4		clwwlknon1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	2, 3, 4	clwwlknon1nloop 30553	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
7		s1cli 14672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
8	7	elexi 3475	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ V
9	8	snnz 4740	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨“𝑋”⟩} ≠ ∅
10	9	nesymi 3014	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = {⟨“𝑋”⟩}
11		eqeq1 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋𝐶1) = ∅ → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ ∅ = {⟨“𝑋”⟩}))
12	10, 11	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋𝐶1) = ∅ → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
13	6, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
14	13	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
15	1, 14	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (¬ {𝑋} ∈ 𝐸 → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
16	15	con4d 116	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} → {𝑋} ∈ 𝐸))
17	2, 3, 4	clwwlknon1loop 30552	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
18	17	ex 418	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ({𝑋} ∈ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
19	16, 18	impbid 215	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3063  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1c1 11126  Word cword 14578  ⟨“cs1 14662  Vtxcvtx 29437  Edgcedg 29488  ClWWalksNOncclwwlknon 30541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-lsw 14628  df-s1 14663  df-clwwlk 30436  df-clwwlkn 30479  df-clwwlknon 30542

This theorem is used by: (None)