Theorem clwwlknon1sn 30142

Description: The set of (closed) walks on vertex 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is a singleton containing the singleton word consisting of 𝑋 iff there is a loop at 𝑋. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1sn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlknon1sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3046	. . . 4 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
2		clwwlknon1.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		clwwlknon1.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
4		clwwlknon1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	2, 3, 4	clwwlknon1nloop 30141	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
7		s1cli 14646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
8	7	elexi 3502	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ V
9	8	snnz 4782	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨“𝑋”⟩} ≠ ∅
10	9	nesymi 2997	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = {⟨“𝑋”⟩}
11		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋𝐶1) = ∅ → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ ∅ = {⟨“𝑋”⟩}))
12	10, 11	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋𝐶1) = ∅ → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
13	6, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
14	13	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
15	1, 14	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (¬ {𝑋} ∈ 𝐸 → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
16	15	con4d 115	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} → {𝑋} ∈ 𝐸))
17	2, 3, 4	clwwlknon1loop 30140	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
18	17	ex 412	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ({𝑋} ∈ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
19	16, 18	impbid 212	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1538   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3045  Vcvv 3479  ∅c0 4340  {csn 4632  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435  1c1 11160  Word cword 14555  ⟨“cs1 14636  Vtxcvtx 29036  Edgcedg 29087  ClWWalksNOncclwwlknon 30129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-oadd 8515  df-er 8750  df-map 8873  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12271  df-n0 12531  df-xnn0 12604  df-z 12618  df-uz 12883  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-hash 14373  df-word 14556  df-lsw 14604  df-s1 14637  df-clwwlk 30024  df-clwwlkn 30067  df-clwwlknon 30130

This theorem is referenced by: (None)