Theorem clwwlknon1sn 30394

Description: The set of (closed) walks on vertex 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is a singleton containing the singleton word consisting of 𝑋 iff there is a loop at 𝑋. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1sn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlknon1sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3071	. . . 4 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
2		clwwlknon1.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		clwwlknon1.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
4		clwwlknon1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	2, 3, 4	clwwlknon1nloop 30393	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)
6	5	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
7		s1cli 14645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
8	7	elexi 3485	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ V
9	8	snnz 4747	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨“𝑋”⟩} ≠ ∅
10	9	nesymi 3021	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = {⟨“𝑋”⟩}
11		eqeq1 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋𝐶1) = ∅ → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ ∅ = {⟨“𝑋”⟩}))
12	10, 11	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋𝐶1) = ∅ → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
13	6, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
14	13	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
15	1, 14	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (¬ {𝑋} ∈ 𝐸 → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
16	15	con4d 116	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} → {𝑋} ∈ 𝐸))
17	2, 3, 4	clwwlknon1loop 30392	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
18	17	ex 417	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ({𝑋} ∈ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
19	16, 18	impbid 215	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  Vcvv 3463  ∅c0 4294  {csn 4594  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  1c1 11103  Word cword 14552  ⟨“cs1 14635  Vtxcvtx 29289  Edgcedg 29340  ClWWalksNOncclwwlknon 30381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-s1 14636  df-clwwlk 30276  df-clwwlkn 30319  df-clwwlknon 30382

This theorem is referenced by: (None)