MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknon1sn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknon1sn 29952
Description: The set of (closed) walks on vertex 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is a singleton containing the singleton word consisting of 𝑋 iff there is a loop at 𝑋. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknon1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
clwwlknon1.c 𝐢 = (ClWWalksNOnβ€˜πΊ)
clwwlknon1.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlknon1sn (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑋𝐢1) = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlknon1sn
StepHypRef Expression
1 df-nel 3037 . . . 4 ({𝑋} βˆ‰ 𝐸 ↔ Β¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
2 clwwlknon1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 clwwlknon1.c . . . . . . . 8 𝐢 = (ClWWalksNOnβ€˜πΊ)
4 clwwlknon1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
52, 3, 4clwwlknon1nloop 29951 . . . . . . 7 ({𝑋} βˆ‰ 𝐸 β†’ (𝑋𝐢1) = βˆ…)
65adantl 480 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} βˆ‰ 𝐸) β†’ (𝑋𝐢1) = βˆ…)
7 s1cli 14585 . . . . . . . . . 10 βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ© ∈ Word V
87elexi 3484 . . . . . . . . 9 βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ© ∈ V
98snnz 4776 . . . . . . . 8 {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©} β‰  βˆ…
109nesymi 2988 . . . . . . 7 Β¬ βˆ… = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©}
11 eqeq1 2729 . . . . . . 7 ((𝑋𝐢1) = βˆ… β†’ ((𝑋𝐢1) = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©} ↔ βˆ… = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©}))
1210, 11mtbiri 326 . . . . . 6 ((𝑋𝐢1) = βˆ… β†’ Β¬ (𝑋𝐢1) = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©})
136, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} βˆ‰ 𝐸) β†’ Β¬ (𝑋𝐢1) = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©})
1413ex 411 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ({𝑋} βˆ‰ 𝐸 β†’ Β¬ (𝑋𝐢1) = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©}))
151, 14biimtrrid 242 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (Β¬ {𝑋} ∈ 𝐸 β†’ Β¬ (𝑋𝐢1) = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©}))
1615con4d 115 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑋𝐢1) = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©} β†’ {𝑋} ∈ 𝐸))
172, 3, 4clwwlknon1loop 29950 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) β†’ (𝑋𝐢1) = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©})
1817ex 411 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ({𝑋} ∈ 𝐸 β†’ (𝑋𝐢1) = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©}))
1916, 18impbid 211 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑋𝐢1) = {βŸ¨β€œπ‘‹β€βŸ©} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ‰ wnel 3036  Vcvv 3463  βˆ…c0 4318  {csn 4624  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  1c1 11137  Word cword 14494  βŸ¨β€œcs1 14575  Vtxcvtx 28851  Edgcedg 28902  ClWWalksNOncclwwlknon 29939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-lsw 14543  df-s1 14576  df-clwwlk 29834  df-clwwlkn 29877  df-clwwlknon 29940
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator