Theorem clwwlknon1sn 30460

Description: The set of (closed) walks on vertex 𝑋 of length 1 as words over the set of vertices is a singleton containing the singleton word consisting of 𝑋 iff there is a loop at 𝑋. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon1.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon1sn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem clwwlknon1sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3065	. . . 4 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 ↔ ¬ {𝑋} ∈ 𝐸)
2		clwwlknon1.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		clwwlknon1.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
4		clwwlknon1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	2, 3, 4	clwwlknon1nloop 30459	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑋} ∉ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = ∅)
6	5	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = ∅)
7		s1cli 14648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
8	7	elexi 3477	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ V
9	8	snnz 4742	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨“𝑋”⟩} ≠ ∅
10	9	nesymi 3015	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = {⟨“𝑋”⟩}
11		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋𝐶1) = ∅ → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ ∅ = {⟨“𝑋”⟩}))
12	10, 11	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋𝐶1) = ∅ → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
13	6, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∉ 𝐸) → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
14	13	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ({𝑋} ∉ 𝐸 → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
15	1, 14	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (¬ {𝑋} ∈ 𝐸 → ¬ (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
16	15	con4d 116	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} → {𝑋} ∈ 𝐸))
17	2, 3, 4	clwwlknon1loop 30458	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋} ∈ 𝐸) → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩})
18	17	ex 417	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ({𝑋} ∈ 𝐸 → (𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩}))
19	16, 18	impbid 215	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑋𝐶1) = {⟨“𝑋”⟩} ↔ {𝑋} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3064  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11105  Word cword 14555  ⟨“cs1 14638  Vtxcvtx 29355  Edgcedg 29406  ClWWalksNOncclwwlknon 30447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-lsw 14605  df-s1 14639  df-clwwlk 30342  df-clwwlkn 30385  df-clwwlknon 30448

This theorem is used by: (None)