Theorem clwwlknonex2e 29907

Description: Extending a closed walk 𝑊 on vertex 𝑋 by an additional edge (forth and back) results in a closed walk on vertex 𝑋. (Contributed by AV, 17-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknonex2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonex2.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonex2e	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))

Proof of Theorem clwwlknonex2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknonex2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clwwlknonex2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clwwlknonex2 29906	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4		isclwwlknon 29888	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
5		isclwwlkn 29824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
6	1	clwwlkbp 29782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
7	6	simp2d 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		clwwlkgt0 29783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 0 < (♯‘𝑊))
9	7, 8	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
11	5, 10	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
12	11	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
13		ccat2s1fst 14613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
15		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊‘0) = 𝑋)
16	14, 15	eqtrd 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋)
17	16	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋))
18	4, 17	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋))
19	18	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋)))
20	19	3imp 1109	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋)
21		isclwwlknon 29888	. 2 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋))
22	3, 20, 21	sylanbrc 582	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  Vcvv 3469  ∅c0 4318  {cpr 4626   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130   < clt 11270   − cmin 11466  2c2 12289  3c3 12290  ℤ_≥cuz 12844  ♯chash 14313  Word cword 14488   ++ cconcat 14544  ⟨“cs1 14569  Vtxcvtx 28796  Edgcedg 28847  ClWWalkscclwwlk 29778   ClWWalksN cclwwlkn 29821  ClWWalksNOncclwwlknon 29884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537  df-concat 14545  df-s1 14570  df-clwwlk 29779  df-clwwlkn 29822  df-clwwlknon 29885

This theorem is referenced by: (None)