Theorem clwwlknonex2e 30134

Description: Extending a closed walk 𝑊 on vertex 𝑋 by an additional edge (forth and back) results in a closed walk on vertex 𝑋. (Contributed by AV, 17-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknonex2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonex2.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonex2e	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))

Proof of Theorem clwwlknonex2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknonex2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clwwlknonex2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clwwlknonex2 30133	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4		isclwwlknon 30115	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
5		isclwwlkn 30051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
6	1	clwwlkbp 30009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
7	6	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		clwwlkgt0 30010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 0 < (♯‘𝑊))
9	7, 8	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
11	5, 10	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
12	11	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
13		ccat2s1fst 14561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
15		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊‘0) = 𝑋)
16	14, 15	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋)
17	16	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋))
18	4, 17	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋))
19	18	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋)))
20	19	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋)
21		isclwwlknon 30115	. 2 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋))
22	3, 20, 21	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438  ∅c0 4283  {cpr 4580   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024   < clt 11164   − cmin 11362  2c2 12198  3c3 12199  ℤ_≥cuz 12749  ♯chash 14251  Word cword 14434   ++ cconcat 14491  ⟨“cs1 14517  Vtxcvtx 29018  Edgcedg 29069  ClWWalkscclwwlk 30005   ClWWalksN cclwwlkn 30048  ClWWalksNOncclwwlknon 30111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-lsw 14484  df-concat 14492  df-s1 14518  df-clwwlk 30006  df-clwwlkn 30049  df-clwwlknon 30112

This theorem is referenced by: (None)