Theorem clwwlknonex2e 28762

Description: Extending a closed walk 𝑊 on vertex 𝑋 by an additional edge (forth and back) results in a closed walk on vertex 𝑋. (Contributed by AV, 17-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknonex2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonex2.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonex2e	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))

Proof of Theorem clwwlknonex2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknonex2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clwwlknonex2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	clwwlknonex2 28761	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
4		isclwwlknon 28743	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
5		isclwwlkn 28679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)))
6	1	clwwlkbp 28637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
7	6	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		clwwlkgt0 28638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 0 < (♯‘𝑊))
9	7, 8	jca 513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
10	9	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
11	5, 10	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
12	11	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
13		ccat2s1fst 14450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
15		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (𝑊‘0) = 𝑋)
16	14, 15	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋)
17	16	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑊 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋))
18	4, 17	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋))
19	18	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋)))
20	19	3imp 1111	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋)
21		isclwwlknon 28743	. 2 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘0) = 𝑋))
22	3, 20, 21	sylanbrc 584	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  Vcvv 3442  ∅c0 4274  {cpr 4580   class class class wbr 5097  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  0cc0 10977   < clt 11115   − cmin 11311  2c2 12134  3c3 12135  ℤ_≥cuz 12688  ♯chash 14150  Word cword 14322   ++ cconcat 14378  ⟨“cs1 14403  Vtxcvtx 27655  Edgcedg 27706  ClWWalkscclwwlk 28633   ClWWalksN cclwwlkn 28676  ClWWalksNOncclwwlknon 28739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-oadd 8376  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-uz 12689  df-rp 12837  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-hash 14151  df-word 14323  df-lsw 14371  df-concat 14379  df-s1 14404  df-clwwlk 28634  df-clwwlkn 28677  df-clwwlknon 28740

This theorem is referenced by: (None)