MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkbp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkbp 27679
Description: Basic properties of a closed walk (in an undirected graph) as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlkbp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlkbp (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))

Proof of Theorem clwwlkbp
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6699 . 2 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2 clwwlkbp.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2825 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
42, 3isclwwlk 27678 . . 3 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
54simp1bi 1139 . 2 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
6 3anass 1089 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
71, 5, 6sylanbrc 583 1 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  Vcvv 3499  c0 4294  {cpr 4565  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862  ..^cfzo 13026  chash 13683  Word cword 13854  lastSclsw 13907  Vtxcvtx 26697  Edgcedg 26748  ClWWalkscclwwlk 27675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-hash 13684  df-word 13855  df-clwwlk 27676
This theorem is referenced by:  clwwlkgt0  27680  umgrclwwlkge2  27685  clwlkclwwlkfo  27703  clwwisshclwws  27709  clwwisshclwwsn  27710  erclwwlkeqlen  27713  erclwwlkref  27714  erclwwlksym  27715  erclwwlktr  27716  clwwlkn  27720  clwwlknwrd  27728  clwwlknon  27785  clwwlknonex2e  27805
  Copyright terms: Public domain W3C validator