MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conjsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem conjsubg 19041
Description: A conjugated subgroup is also a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
conjghm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
conjghm.p + = (+g𝐺)
conjghm.m = (-g𝐺)
conjsubg.f 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴))
Assertion
Ref Expression
conjsubg ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥, +   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem conjsubg
StepHypRef Expression
1 conjghm.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
21subgss 18930 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑋)
32adantr 482 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆𝑋)
4 df-ima 5647 . . . 4 ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) = ran ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆)
5 resmpt 5992 . . . . . 6 (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)))
6 conjsubg.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴))
75, 6eqtr4di 2795 . . . . 5 (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆) = 𝐹)
87rneqd 5894 . . . 4 (𝑆𝑋 → ran ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆) = ran 𝐹)
94, 8eqtrid 2789 . . 3 (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) = ran 𝐹)
103, 9syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) = ran 𝐹)
11 subgrcl 18934 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12 conjghm.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
13 conjghm.m . . . . . 6 = (-g𝐺)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴))
151, 12, 13, 14conjghm 19040 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)):𝑋1-1-onto𝑋))
1611, 15sylan 581 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)):𝑋1-1-onto𝑋))
1716simpld 496 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
18 simpl 484 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19 ghmima 19030 . . 3 (((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2017, 18, 19syl2anc 585 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2110, 20eqeltrrd 2839 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3911  cmpt 5189  ran crn 5635  cres 5636  cima 5637  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  Grpcgrp 18749  -gcsg 18751  SubGrpcsubg 18923   GrpHom cghm 19006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-ghm 19007
This theorem is referenced by:  slwhash  19407  sylow2  19409  sylow3lem1  19410
  Copyright terms: Public domain W3C validator