MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  conjsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem conjsubg 19211
Description: A conjugated subgroup is also a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
conjghm.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
conjghm.p + = (+g𝐺)
conjghm.m = (-g𝐺)
conjsubg.f 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴))
Assertion
Ref Expression
conjsubg ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥, +   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem conjsubg
StepHypRef Expression
1 conjghm.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
21subgss 19089 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑋)
32adantr 479 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆𝑋)
4 df-ima 5695 . . . 4 ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) = ran ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆)
5 resmpt 6046 . . . . . 6 (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)))
6 conjsubg.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴))
75, 6eqtr4di 2786 . . . . 5 (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆) = 𝐹)
87rneqd 5944 . . . 4 (𝑆𝑋 → ran ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ↾ 𝑆) = ran 𝐹)
94, 8eqtrid 2780 . . 3 (𝑆𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) = ran 𝐹)
103, 9syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) = ran 𝐹)
11 subgrcl 19093 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12 conjghm.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
13 conjghm.m . . . . . 6 = (-g𝐺)
14 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴))
151, 12, 13, 14conjghm 19210 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)):𝑋1-1-onto𝑋))
1611, 15sylan 578 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)):𝑋1-1-onto𝑋))
1716simpld 493 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
18 simpl 481 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19 ghmima 19198 . . 3 (((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2017, 18, 19syl2anc 582 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐴 + 𝑥) 𝐴)) “ 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2110, 20eqeltrrd 2830 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949  cmpt 5235  ran crn 5683  cres 5684  cima 5685  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Grpcgrp 18897  -gcsg 18899  SubGrpcsubg 19082   GrpHom cghm 19174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-ghm 19175
This theorem is referenced by:  slwhash  19586  sylow2  19588  sylow3lem1  19589
  Copyright terms: Public domain W3C validator