Theorem constrfiss 34365

Description: For any finite set 𝐴 of constructible numbers, there is a 𝑛 -th step (𝐶‘𝑛) containing all numbers in 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrfiss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Constr)
constrfiss.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
constrfiss	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥,𝑛   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥,𝑑,𝑛   𝑟,𝑎   𝑏,𝑑,𝑟,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥   𝑛,𝑎,𝜑,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟, 𝑑)   𝐴(𝑟, 𝑑)   𝐶(𝑟)

Proof of Theorem constrfiss

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3956	. . 3 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛)))
2	1	rexbidv 3187	. 2 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛)))
3		sseq1 3956	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑖 → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
4	3	rexbidv 3187	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑖 → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
5		sseq1 3956	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑖 ∪ {𝑥}) → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
6	5	rexbidv 3187	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑖 ∪ {𝑥}) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
7		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑚))
8	7	sseq2d 3963	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
9	8	cbvrexvw 3242	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
10	6, 9	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑏 = (𝑖 ∪ {𝑥}) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
11		sseq1 3956	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
12	11	rexbidv 3187	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
13		peano1 7889	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
14	13	ne0ii 4290	. . 3 ⊢ ω ≠ ∅
15		0ss 4350	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛))
17	16	reximdva0 4303	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ω ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ω ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛))
18	14, 17	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛))
19		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑙 ∈ ω)
20		fveq2 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑙))
21	20	sseq2d 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑙)))
22	21	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) ∧ 𝑚 = 𝑙) → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑙)))
23		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛))
24		constr0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
25		nnon 7872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ ω → 𝑙 ∈ On)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑙 ∈ On)
27		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑛 ∈ 𝑙)
28	24, 26, 27	constrmon 34358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → (𝐶‘𝑛) ⊆ (𝐶‘𝑙))
29	19, 28	sylancom 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → (𝐶‘𝑛) ⊆ (𝐶‘𝑙))
30	23, 29	sstrd 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑙))
31		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
32	31	snssd 4747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → {𝑥} ⊆ (𝐶‘𝑙))
33	30, 32	unssd 4138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑙))
34	19, 22, 33	rspcedvd 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
35		simp-5r 798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑛 ∈ ω)
36		fveq2 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
37	36	sseq2d 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
38	37	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
39		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛))
40		nnon 7872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On)
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑛 ∈ On)
42		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑙 ∈ 𝑛)
43	24, 41, 42	constrmon 34358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → (𝐶‘𝑙) ⊆ (𝐶‘𝑛))
44	35, 43	sylancom 600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → (𝐶‘𝑙) ⊆ (𝐶‘𝑛))
45		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
46	44, 45	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛))
47	46	snssd 4747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → {𝑥} ⊆ (𝐶‘𝑛))
48	39, 47	unssd 4138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
49	35, 38, 48	rspcedvd 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
50		simp-5r 798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑛 ∈ ω)
51	37	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
52		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛))
53		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
54		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑛 = 𝑙)
55	54	fveq2d 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑙))
56	53, 55	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛))
57	56	snssd 4747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → {𝑥} ⊆ (𝐶‘𝑛))
58	52, 57	unssd 4138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
59	50, 51, 58	rspcedvd 3579	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
60	40	ad4antlr 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → 𝑛 ∈ On)
61	25	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → 𝑙 ∈ On)
62		oneltri 6399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ 𝑙 ∈ On) → (𝑛 ∈ 𝑙 ∨ 𝑙 ∈ 𝑛 ∨ 𝑛 = 𝑙))
63	60, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → (𝑛 ∈ 𝑙 ∨ 𝑙 ∈ 𝑛 ∨ 𝑛 = 𝑙))
64	34, 49, 59, 63	mpjao3dan 1459	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
65		constrfiss.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Constr)
66	65	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ⊆ Constr)
67		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖))
68	67	eldifad 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
69	66, 68	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑥 ∈ Constr)
70	24	isconstr 34350	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Constr ↔ ∃𝑙 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
71	69, 70	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑙 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
72	64, 71	r19.29a 3171	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
73	72	r19.29an 3167	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ ∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
74	73	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
75	74	anasss 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖))) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
76		constrfiss.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
77	2, 4, 10, 12, 18, 75, 76	findcard2d 9166	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186  Oncon0 6355  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ωcom 7866  reccrdg 8401  Fincfn 8957  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  ∗ccj 15243  ℑcim 15245  abscabs 15381  Constrcconstr 34343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524  df-constr 34344

This theorem is used by:  constrllcllem  34366  constrlccllem  34367  constrcccllem  34368