Theorem constrfiss 33749

Description: For any finite set 𝐴 of constructible numbers, there is a 𝑛 -th step (𝐶‘𝑛) containing all numbers in 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrfiss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Constr)
constrfiss.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
constrfiss	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥,𝑛   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥,𝑑,𝑛   𝑟,𝑎   𝑏,𝑑,𝑟,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥   𝑛,𝑎,𝜑,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑑)   𝐴(𝑟,𝑑)   𝐶(𝑟)

Proof of Theorem constrfiss

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3980	. . 3 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛)))
2	1	rexbidv 3159	. 2 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛)))
3		sseq1 3980	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑖 → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
4	3	rexbidv 3159	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑖 → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
5		sseq1 3980	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑖 ∪ {𝑥}) → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
6	5	rexbidv 3159	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑖 ∪ {𝑥}) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
7		fveq2 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑚))
8	7	sseq2d 3987	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
9	8	cbvrexvw 3218	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
10	6, 9	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑏 = (𝑖 ∪ {𝑥}) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
11		sseq1 3980	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
12	11	rexbidv 3159	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
13		peano1 7873	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
14	13	ne0ii 4315	. . 3 ⊢ ω ≠ ∅
15		0ss 4371	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛))
17	16	reximdva0 4326	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ω ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ω ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛))
18	14, 17	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛))
19		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑙 ∈ ω)
20		fveq2 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑙))
21	20	sseq2d 3987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑙)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) ∧ 𝑚 = 𝑙) → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑙)))
23		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛))
24		constr0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
25		nnon 7856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ ω → 𝑙 ∈ On)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑙 ∈ On)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑛 ∈ 𝑙)
28	24, 26, 27	constrmon 33742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → (𝐶‘𝑛) ⊆ (𝐶‘𝑙))
29	19, 28	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → (𝐶‘𝑛) ⊆ (𝐶‘𝑙))
30	23, 29	sstrd 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑙))
31		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
32	31	snssd 4781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → {𝑥} ⊆ (𝐶‘𝑙))
33	30, 32	unssd 4163	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑙))
34	19, 22, 33	rspcedvd 3599	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
35		simp-5r 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑛 ∈ ω)
36		fveq2 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
37	36	sseq2d 3987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
38	37	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
39		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛))
40		nnon 7856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑛 ∈ On)
42		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑙 ∈ 𝑛)
43	24, 41, 42	constrmon 33742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → (𝐶‘𝑙) ⊆ (𝐶‘𝑛))
44	35, 43	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → (𝐶‘𝑙) ⊆ (𝐶‘𝑛))
45		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
46	44, 45	sseldd 3955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛))
47	46	snssd 4781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → {𝑥} ⊆ (𝐶‘𝑛))
48	39, 47	unssd 4163	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
49	35, 38, 48	rspcedvd 3599	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
50		simp-5r 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑛 ∈ ω)
51	37	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
52		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛))
53		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑛 = 𝑙)
55	54	fveq2d 6869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑙))
56	53, 55	eleqtrrd 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛))
57	56	snssd 4781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → {𝑥} ⊆ (𝐶‘𝑛))
58	52, 57	unssd 4163	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
59	50, 51, 58	rspcedvd 3599	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
60	40	ad4antlr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → 𝑛 ∈ On)
61	25	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → 𝑙 ∈ On)
62		oneltri 6383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ 𝑙 ∈ On) → (𝑛 ∈ 𝑙 ∨ 𝑙 ∈ 𝑛 ∨ 𝑛 = 𝑙))
63	60, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → (𝑛 ∈ 𝑙 ∨ 𝑙 ∈ 𝑛 ∨ 𝑛 = 𝑙))
64	34, 49, 59, 63	mpjao3dan 1434	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
65		constrfiss.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Constr)
66	65	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ⊆ Constr)
67		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖))
68	67	eldifad 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
69	66, 68	sseldd 3955	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑥 ∈ Constr)
70	24	isconstr 33734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Constr ↔ ∃𝑙 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
71	69, 70	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑙 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
72	64, 71	r19.29a 3143	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
73	72	r19.29an 3139	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ ∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
74	73	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
75	74	anasss 466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖))) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
76		constrfiss.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
77	2, 4, 10, 12, 18, 75, 76	findcard2d 9143	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927  ∃wrex 3055  {crab 3411  Vcvv 3455   ∖ cdif 3919   ∪ cun 3920   ⊆ wss 3922  ∅c0 4304  {csn 4597  {cpr 4599   ↦ cmpt 5196  Oncon0 6340  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  ωcom 7850  reccrdg 8386  Fincfn 8922  ℂcc 11084  ℝcr 11085  0cc0 11086  1c1 11087   + caddc 11089   · cmul 11091   − cmin 11423  ∗ccj 15072  ℑcim 15074  abscabs 15210  Constrcconstr 33727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-ltxr 11231  df-sub 11425  df-constr 33728

This theorem is referenced by:  constrllcllem  33750  constrlccllem  33751  constrcccllem  33752