Theorem constrfiss 33741

Description: For any finite set 𝐴 of constructible numbers, there is a 𝑛 -th step (𝐶‘𝑛) containing all numbers in 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrfiss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Constr)
constrfiss.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
constrfiss	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥,𝑛   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥,𝑑,𝑛   𝑟,𝑎   𝑏,𝑑,𝑟,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥   𝑛,𝑎,𝜑,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑑)   𝐴(𝑟,𝑑)   𝐶(𝑟)

Proof of Theorem constrfiss

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3972	. . 3 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛)))
2	1	rexbidv 3157	. 2 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛)))
3		sseq1 3972	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑖 → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
4	3	rexbidv 3157	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝑖 → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
5		sseq1 3972	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑖 ∪ {𝑥}) → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
6	5	rexbidv 3157	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑖 ∪ {𝑥}) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
7		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑚))
8	7	sseq2d 3979	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
9	8	cbvrexvw 3216	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
10	6, 9	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑏 = (𝑖 ∪ {𝑥}) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
11		sseq1 3972	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
12	11	rexbidv 3157	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ω 𝑏 ⊆ (𝐶‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛)))
13		peano1 7865	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
14	13	ne0ii 4307	. . 3 ⊢ ω ≠ ∅
15		0ss 4363	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ω) → ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛))
17	16	reximdva0 4318	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ω ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ω ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛))
18	14, 17	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω ∅ ⊆ (𝐶‘𝑛))
19		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑙 ∈ ω)
20		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑙))
21	20	sseq2d 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑙)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) ∧ 𝑚 = 𝑙) → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑙)))
23		simp-4r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛))
24		constr0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
25		nnon 7848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ ω → 𝑙 ∈ On)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑙 ∈ On)
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑛 ∈ 𝑙)
28	24, 26, 27	constrmon 33734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → (𝐶‘𝑛) ⊆ (𝐶‘𝑙))
29	19, 28	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → (𝐶‘𝑛) ⊆ (𝐶‘𝑙))
30	23, 29	sstrd 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑙))
31		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
32	31	snssd 4773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → {𝑥} ⊆ (𝐶‘𝑙))
33	30, 32	unssd 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑙))
34	19, 22, 33	rspcedvd 3590	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑙) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
35		simp-5r 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑛 ∈ ω)
36		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
37	36	sseq2d 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
38	37	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
39		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛))
40		nnon 7848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑛 ∈ On)
42		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑙 ∈ 𝑛)
43	24, 41, 42	constrmon 33734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → (𝐶‘𝑙) ⊆ (𝐶‘𝑛))
44	35, 43	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → (𝐶‘𝑙) ⊆ (𝐶‘𝑛))
45		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
46	44, 45	sseldd 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛))
47	46	snssd 4773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → {𝑥} ⊆ (𝐶‘𝑛))
48	39, 47	unssd 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
49	35, 38, 48	rspcedvd 3590	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑙 ∈ 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
50		simp-5r 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑛 ∈ ω)
51	37	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) ∧ 𝑚 = 𝑛) → ((𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛)))
52		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛))
53		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑛 = 𝑙)
55	54	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑙))
56	53, 55	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛))
57	56	snssd 4773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → {𝑥} ⊆ (𝐶‘𝑛))
58	52, 57	unssd 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑛))
59	50, 51, 58	rspcedvd 3590	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) ∧ 𝑛 = 𝑙) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
60	40	ad4antlr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → 𝑛 ∈ On)
61	25	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → 𝑙 ∈ On)
62		oneltri 6375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ 𝑙 ∈ On) → (𝑛 ∈ 𝑙 ∨ 𝑙 ∈ 𝑛 ∨ 𝑛 = 𝑙))
63	60, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → (𝑛 ∈ 𝑙 ∨ 𝑙 ∈ 𝑛 ∨ 𝑛 = 𝑙))
64	34, 49, 59, 63	mpjao3dan 1434	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑙 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
65		constrfiss.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ Constr)
66	65	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝐴 ⊆ Constr)
67		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖))
68	67	eldifad 3926	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
69	66, 68	sseldd 3947	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑥 ∈ Constr)
70	24	isconstr 33726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Constr ↔ ∃𝑙 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
71	69, 70	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑙 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑙))
72	64, 71	r19.29a 3141	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ ω) ∧ 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
73	72	r19.29an 3137	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) ∧ ∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚))
74	73	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖)) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
75	74	anasss 466	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑖))) → (∃𝑛 ∈ ω 𝑖 ⊆ (𝐶‘𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑖 ∪ {𝑥}) ⊆ (𝐶‘𝑚)))
76		constrfiss.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
77	2, 4, 10, 12, 18, 75, 76	findcard2d 9130	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ⊆ (𝐶‘𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591   ↦ cmpt 5188  Oncon0 6332  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842  reccrdg 8377  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  ∗ccj 15062  ℑcim 15064  abscabs 15200  Constrcconstr 33719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-constr 33720

This theorem is referenced by:  constrllcllem  33742  constrlccllem  33743  constrcccllem  33744