Theorem sinf 16160

Description: Domain and codomain of the sine function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinf	⊢ sin:ℂ⟶ℂ

Proof of Theorem sinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sin 16105	. 2 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
2		ax-icn 11214	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
3		mulcl 11239	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
5		efcl 16118	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
7		negicn 11509	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
8		mulcl 11239	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
9	7, 8	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
10		efcl 16118	. . . . 5 ⊢ ((-i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
12	6, 11	subcld 11620	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
13		2mulicn 12489	. . . 4 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
14		2muline0 12490	. . . 4 ⊢ (2 · i) ≠ 0
15		divcl 11928	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	mp3an23 1455	. . 3 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) ∈ ℂ)
17	12, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) ∈ ℂ)
18	1, 17	fmpti 7132	1 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  ici 11157   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  expce 16097  sincsin 16099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105

This theorem is referenced by:  sincl  16162  pilem1  26495  resinf1o  26578  ex-fpar  30481  dvtan  37677  resuppsinopn  42393  readvcot  42394  sinmulcos  45880  resincncf  45890  dvsinexp  45926  dvsinax  45928  itgsinexplem1  45969  dirkercncflem2  46119  fourierdlem56  46177  fourierdlem73  46194  fourierdlem76  46197