Theorem sinf 16298

Description: Domain and codomain of the sine function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinf	⊢ sin:ℂ⟶ℂ

Proof of Theorem sinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sin 16241	. 2 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘( -i · 𝑥))) / (2 · i)))
2		ax-icn 11263	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
3		mulcl 11288	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
4	2, 3	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
5		efcl 16254	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
7		negicn 11562	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
8		mulcl 11288	. . . . . 6 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ( -i · 𝑥) ∈ ℂ)
9	7, 8	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( -i · 𝑥) ∈ ℂ)
10		efcl 16254	. . . . 5 ⊢ (( -i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝑥)) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝑥)) ∈ ℂ)
12	6, 11	subcld 11673	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘( -i · 𝑥))) ∈ ℂ)
13		2mulicn 12574	. . . 4 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
14		2muline0 12575	. . . 4 ⊢ (2 · i) ≠ 0
15		divcl 11984	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘( -i · 𝑥))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘( -i · 𝑥))) / (2 · i)) ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	mp3an23 1482	. . 3 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘( -i · 𝑥))) ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘( -i · 𝑥))) / (2 · i)) ∈ ℂ)
17	12, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘( -i · 𝑥))) / (2 · i)) ∈ ℂ)
18	1, 17	fmpti 7113	1 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  ici 11206   · cmul 11209   − cmin 11545   -cneg 11546   / cdiv 11977  2c2 12401  expce 16233  sincsin 16235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-ico 13486  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241

This theorem is used by:  sincl  16300  pilem1  26784  resinf1o  26870  ex-fpar  31069  dvtan  38682  resuppsinopn  43508  readvcot  43509  sinmulcos  46969  resincncf  46979  dvsinexp  47015  dvsinax  47017  itgsinexplem1  47058  dirkercncflem2  47208  fourierdlem56  47266  fourierdlem73  47283  fourierdlem76  47286  sinnpoly  48035  dvcsc  51026  dvcot  51027