Theorem dipcl 31193

Description: An inner product is a complex number. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipcl	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dipcl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcl.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
5		ipcl.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval 31184	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4))
7		fzfid 14037	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1...4) ∈ Fin)
8		ax-icn 11183	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
9		elfznn 13608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		expcl 14143	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
12	8, 10, 11	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
14	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 31187	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (i↑𝑘) ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
15	12, 14	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 11253	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
17	7, 16	fsumcl 15819	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
18		4cn 12350	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
19		4ne0 12376	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
20		divcl 11902	. . . 4 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	mp3an23 1482	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
22	17, 21	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
23	6, 22	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125  ici 11126   · cmul 11129   / cdiv 11895  2c2 12319  4c4 12321  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13561  ↑cexp 14125  Σcsu 15773  NrmCVeccnv 31065   +_𝑣 cpv 31066  BaseSetcba 31067   ·_𝑠OLD cns 31068  norm_CVcnmcv 31071  ·_𝑖OLDcdip 31181

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-grpo 30974  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-sm 31078  df-0v 31079  df-nmcv 31081  df-dip 31182

This theorem is used by:  ipf  31194  ipipcj  31196  ip1ilem  31307  ip2i  31309  ipasslem1  31312  ipasslem2  31313  ipasslem4  31315  ipasslem5  31316  ipasslem7  31317  ipasslem8  31318  ipasslem9  31319  ipasslem10  31320  ipasslem11  31321  dipdi  31324  ip2dii  31325  dipassr  31327  dipsubdir  31329  dipsubdi  31330  pythi  31331  siilem1  31332  siilem2  31333  siii  31334  ipblnfi  31336  ip2eqi  31337  htthlem  31398