MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcl 28504
Description: An inner product is a complex number. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipcl ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dipcl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2824 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2824 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2824 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 ipcl.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval 28495 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4))
7 fzfid 13347 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1...4) ∈ Fin)
8 ax-icn 10596 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
9 elfznn 12942 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
109nnnn0d 11954 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11 expcl 13454 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
128, 10, 11sylancr 590 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...4) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
1312adantl 485 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
141, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 28498 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (i↑𝑘) ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1512, 14sylan2 595 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 10661 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
177, 16fsumcl 15092 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
18 4cn 11721 . . . 4 4 ∈ ℂ
19 4ne0 11744 . . . 4 4 ≠ 0
20 divcl 11304 . . . 4 ((Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
2118, 19, 20mp3an23 1450 . . 3 𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
2217, 21syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
236, 22eqeltrd 2916 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  cfv 6345  (class class class)co 7151  cc 10535  0cc0 10537  1c1 10538  ici 10539   · cmul 10542   / cdiv 11297  2c2 11691  4c4 11693  0cn0 11896  ...cfz 12896  cexp 13436  Σcsu 15044  NrmCVeccnv 28376   +𝑣 cpv 28377  BaseSetcba 28378   ·𝑠OLD cns 28379  normCVcnmcv 28382  ·𝑖OLDcdip 28492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-grpo 28285  df-ablo 28337  df-vc 28351  df-nv 28384  df-va 28387  df-ba 28388  df-sm 28389  df-0v 28390  df-nmcv 28392  df-dip 28493
This theorem is referenced by:  ipf  28505  ipipcj  28507  ip1ilem  28618  ip2i  28620  ipasslem1  28623  ipasslem2  28624  ipasslem4  28626  ipasslem5  28627  ipasslem7  28628  ipasslem8  28629  ipasslem9  28630  ipasslem10  28631  ipasslem11  28632  dipdi  28635  ip2dii  28636  dipassr  28638  dipsubdir  28640  dipsubdi  28641  pythi  28642  siilem1  28643  siilem2  28644  siii  28645  ipblnfi  28647  ip2eqi  28648  htthlem  28709
  Copyright terms: Public domain W3C validator