Theorem dipcl 30731

Description: An inner product is a complex number. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipcl	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dipcl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcl.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
5		ipcl.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval 30722	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4))
7		fzfid 14014	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1...4) ∈ Fin)
8		ax-icn 11214	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
9		elfznn 13593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		expcl 14120	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
12	8, 10, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
14	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 30725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (i↑𝑘) ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
15	12, 14	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 11281	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
17	7, 16	fsumcl 15769	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
18		4cn 12351	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
19		4ne0 12374	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
20		divcl 11928	. . . 4 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	mp3an23 1455	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
22	17, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
23	6, 22	eqeltrd 2841	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   · cmul 11160   / cdiv 11920  2c2 12321  4c4 12323  ℕ₀cn0 12526  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  Σcsu 15722  NrmCVeccnv 30603   +_𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·_𝑠OLD cns 30606  norm_CVcnmcv 30609  ·_𝑖OLDcdip 30719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-grpo 30512  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619  df-dip 30720

This theorem is referenced by:  ipf  30732  ipipcj  30734  ip1ilem  30845  ip2i  30847  ipasslem1  30850  ipasslem2  30851  ipasslem4  30853  ipasslem5  30854  ipasslem7  30855  ipasslem8  30856  ipasslem9  30857  ipasslem10  30858  ipasslem11  30859  dipdi  30862  ip2dii  30863  dipassr  30865  dipsubdir  30867  dipsubdi  30868  pythi  30869  siilem1  30870  siilem2  30871  siii  30872  ipblnfi  30874  ip2eqi  30875  htthlem  30936