Theorem dipcl 30641

Description: An inner product is a complex number. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dipcl	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dipcl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcl.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
5		ipcl.7	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval 30632	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4))
7		fzfid 13938	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1...4) ∈ Fin)
8		ax-icn 11127	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
9		elfznn 13514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11		expcl 14044	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
12	8, 10, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
14	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 30635	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (i↑𝑘) ∈ ℂ) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
15	12, 14	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 11194	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
17	7, 16	fsumcl 15699	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
18		4cn 12271	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
19		4ne0 12294	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
20		divcl 11843	. . . 4 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	mp3an23 1455	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
22	17, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))↑2)) / 4) ∈ ℂ)
23	6, 22	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   · cmul 11073   / cdiv 11835  2c2 12241  4c4 12243  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  ↑cexp 14026  Σcsu 15652  NrmCVeccnv 30513   +_𝑣 cpv 30514  BaseSetcba 30515   ·_𝑠OLD cns 30516  norm_CVcnmcv 30519  ·_𝑖OLDcdip 30629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-grpo 30422  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-nmcv 30529  df-dip 30630

This theorem is referenced by:  ipf  30642  ipipcj  30644  ip1ilem  30755  ip2i  30757  ipasslem1  30760  ipasslem2  30761  ipasslem4  30763  ipasslem5  30764  ipasslem7  30765  ipasslem8  30766  ipasslem9  30767  ipasslem10  30768  ipasslem11  30769  dipdi  30772  ip2dii  30773  dipassr  30775  dipsubdir  30777  dipsubdi  30778  pythi  30779  siilem1  30780  siilem2  30781  siii  30782  ipblnfi  30784  ip2eqi  30785  htthlem  30846