MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dipcl 30535
Description: An inner product is a complex number. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dipcl ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
Proof of Theorem dipcl
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2728 . . 3 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2728 . . 3 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2728 . . 3 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 ipcl.7 . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5ipval 30526 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) / 4))
7 fzfid 13971 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1...4) ∈ Fin)
8 ax-icn 11198 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
9 elfznn 13563 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...4) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
109nnnn0d 12563 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...4) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
11 expcl 14077 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
128, 10, 11sylancr 586 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (1...4) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1312adantl 481 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
141, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30529 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1512, 14sylan2 592 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1613, 15mulcld 11265 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ ((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
177, 16fsumcl 15712 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
18 4cn 12328 . . . 4 4 ∈ β„‚
19 4ne0 12351 . . . 4 4 β‰  0
20 divcl 11909 . . . 4 ((Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚ ∧ 4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) / 4) ∈ β„‚)
2118, 19, 20mp3an23 1450 . . 3 (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) / 4) ∈ β„‚)
2217, 21syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) / 4) ∈ β„‚)
236, 22eqeltrd 2829 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140  ici 11141   Β· cmul 11144   / cdiv 11902  2c2 12298  4c4 12300  β„•0cn0 12503  ...cfz 13517  β†‘cexp 14059  Ξ£csu 15665  NrmCVeccnv 30407   +𝑣 cpv 30408  BaseSetcba 30409   ·𝑠OLD cns 30410  normCVcnmcv 30413  Β·π‘–OLDcdip 30523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-grpo 30316  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-nmcv 30423  df-dip 30524
This theorem is referenced by:  ipf  30536  ipipcj  30538  ip1ilem  30649  ip2i  30651  ipasslem1  30654  ipasslem2  30655  ipasslem4  30657  ipasslem5  30658  ipasslem7  30659  ipasslem8  30660  ipasslem9  30661  ipasslem10  30662  ipasslem11  30663  dipdi  30666  ip2dii  30667  dipassr  30669  dipsubdir  30671  dipsubdi  30672  pythi  30673  siilem1  30674  siilem2  30675  siii  30676  ipblnfi  30678  ip2eqi  30679  htthlem  30740
  Copyright terms: Public domain W3C validator