![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > absdiv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Absolute value distributes over division. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
absdiv | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (absโ(๐ด / ๐ต)) = ((absโ๐ด) / (absโ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divcl 11883 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) | |
2 | abscl 15230 | . . . . 5 โข ((๐ด / ๐ต) โ โ โ (absโ(๐ด / ๐ต)) โ โ) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (absโ(๐ด / ๐ต)) โ โ) |
4 | 3 | recnd 11247 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (absโ(๐ด / ๐ต)) โ โ) |
5 | absrpcl 15240 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (absโ๐ต) โ โ+) | |
6 | 5 | 3adant1 1129 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (absโ๐ต) โ โ+) |
7 | 6 | rpcnd 13023 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (absโ๐ต) โ โ) |
8 | 6 | rpne0d 13026 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (absโ๐ต) โ 0) |
9 | 4, 7, 8 | divcan4d 12001 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (((absโ(๐ด / ๐ต)) ยท (absโ๐ต)) / (absโ๐ต)) = (absโ(๐ด / ๐ต))) |
10 | simp2 1136 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ๐ต โ โ) | |
11 | absmul 15246 | . . . . 5 โข (((๐ด / ๐ต) โ โ โง ๐ต โ โ) โ (absโ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)) = ((absโ(๐ด / ๐ต)) ยท (absโ๐ต))) | |
12 | 1, 10, 11 | syl2anc 583 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (absโ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)) = ((absโ(๐ด / ๐ต)) ยท (absโ๐ต))) |
13 | divcan1 11886 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด) | |
14 | 13 | fveq2d 6895 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (absโ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต)) = (absโ๐ด)) |
15 | 12, 14 | eqtr3d 2773 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ ((absโ(๐ด / ๐ต)) ยท (absโ๐ต)) = (absโ๐ด)) |
16 | 15 | oveq1d 7427 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (((absโ(๐ด / ๐ต)) ยท (absโ๐ต)) / (absโ๐ต)) = ((absโ๐ด) / (absโ๐ต))) |
17 | 9, 16 | eqtr3d 2773 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โ (absโ(๐ด / ๐ต)) = ((absโ๐ด) / (absโ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 โ wne 2939 โcfv 6543 (class class class)co 7412 โcc 11111 โcr 11112 0cc0 11113 ยท cmul 11118 / cdiv 11876 โ+crp 12979 abscabs 15186 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7728 ax-cnex 11169 ax-resscn 11170 ax-1cn 11171 ax-icn 11172 ax-addcl 11173 ax-addrcl 11174 ax-mulcl 11175 ax-mulrcl 11176 ax-mulcom 11177 ax-addass 11178 ax-mulass 11179 ax-distr 11180 ax-i2m1 11181 ax-1ne0 11182 ax-1rid 11183 ax-rnegex 11184 ax-rrecex 11185 ax-cnre 11186 ax-pre-lttri 11187 ax-pre-lttrn 11188 ax-pre-ltadd 11189 ax-pre-mulgt0 11190 ax-pre-sup 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7859 df-2nd 7979 df-frecs 8269 df-wrecs 8300 df-recs 8374 df-rdg 8413 df-er 8706 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-sup 9440 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-xr 11257 df-ltxr 11258 df-le 11259 df-sub 11451 df-neg 11452 df-div 11877 df-nn 12218 df-2 12280 df-3 12281 df-n0 12478 df-z 12564 df-uz 12828 df-rp 12980 df-seq 13972 df-exp 14033 df-cj 15051 df-re 15052 df-im 15053 df-sqrt 15187 df-abs 15188 |
This theorem is referenced by: absexpz 15257 abs1m 15287 absdivzi 15359 absdivd 15407 efif1olem4 26291 log2cnv 26686 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |