Theorem drnginvrld 39793

Description: Property of the multiplicative inverse in a division ring. (recid2d 11463 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvrld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvrld.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvrld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drnginvrld.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
drnginvrld.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
drnginvrld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drnginvrld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drnginvrld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
drnginvrld	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )

Proof of Theorem drnginvrld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnginvrld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drnginvrld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		drnginvrld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
4		drnginvrld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		drnginvrld.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		drnginvrld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		drnginvrld.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8		drnginvrld.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	drnginvrl 19602	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554  ._rcmulr 16637  0_gc0g 16784  1_rcur 19332  inv_rcinvr 19505  DivRingcdr 19583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506  df-drng 19585

This theorem is referenced by:  drngmulcanad  39795  drnginvmuld  39797  prjspner1  39995