Theorem drnginvrld 20653

Description: Property of the multiplicative inverse in a division ring. (recid2d 12014 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvrld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvrld.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvrld.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drnginvrld.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
drnginvrld.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
drnginvrld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drnginvrld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drnginvrld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
drnginvrld	⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )

Proof of Theorem drnginvrld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnginvrld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drnginvrld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		drnginvrld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
4		drnginvrld.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		drnginvrld.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		drnginvrld.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		drnginvrld.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8		drnginvrld.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
9	4, 5, 6, 7, 8	drnginvrl 20651	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋) · 𝑋) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  ._rcmulr 17231  0_gc0g 17418  1_rcur 20123  inv_rcinvr 20328  DivRingcdr 20626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20628

This theorem is referenced by:  qsdrnglem2  33255  drngmulcanad  41816  drnginvmuld  41818  prjspner1  42114