Theorem drngmuleq0 20903

Description: An element is zero iff its product with a nonzero element is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmuleq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmuleq0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmuleq0.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmuleq0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmuleq0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmuleq0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drngmuleq0.e	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
drngmuleq0	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem drngmuleq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngmuleq0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drngmuleq0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drngmuleq0.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		drngmuleq0.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5		drngmuleq0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		drngmuleq0.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	drngmul0or 20901	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
8		drngmuleq0.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
9		df-ne 2962	. . . 4 ⊢ (𝑌 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑌 = 0 )
10		orel2 904	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑌 = 0 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) → 𝑋 = 0 ))
11		orc 881	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))
12	10, 11	impbid1 228	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑌 = 0 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
13	9, 12	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑌 ≠ 0 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
14	8, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
15	7, 14	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  DivRingcdr 20864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-nzr 20647  df-rlreg 20830  df-domn 20831  df-drng 20866

This theorem is used by:  lkrsc  39912