Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1o12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1o12 14889
 Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (This function is useful for converting theorems about ≤𝑂(1) to 𝑂(1).) (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lo1o12.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
lo1o12 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem lo1o12
StepHypRef Expression
1 lo1o12.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21fmpttd 6878 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
3 lo1o1 14888 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
5 absf 14696 . . . . 5 abs:ℂ⟶ℝ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
76, 1cofmpt 6893 . . 3 (𝜑 → (abs ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)))
87eleq1d 2897 . 2 (𝜑 → ((abs ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
94, 8bitrd 281 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5145   ∘ ccom 5558  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  ℂcc 10534  ℝcr 10535  abscabs 14592  𝑂(1)co1 14842  ≤𝑂(1)clo1 14843 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-ico 12743  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-o1 14846  df-lo1 14847 This theorem is referenced by:  elo1mpt  14890  elo1mpt2  14891  elo1d  14892  o1bdd2  14897  o1bddrp  14898  o1eq  14926  o1le  15008  pntrlog2bndlem1  26152
 Copyright terms: Public domain W3C validator