MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1o12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1o12 15515
Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (This function is useful for converting theorems about ≀𝑂(1) to 𝑂(1).) (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lo1o12.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
lo1o12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ ≀𝑂(1)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem lo1o12
StepHypRef Expression
1 lo1o12.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
21fmpttd 7128 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
3 lo1o1 15514 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ≀𝑂(1)))
42, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ≀𝑂(1)))
5 absf 15322 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
65a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
76, 1cofmpt 7145 . . 3 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)))
87eleq1d 2813 . 2 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ ≀𝑂(1)))
94, 8bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ ≀𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5233   ∘ ccom 5684  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  β„‚cc 11142  β„cr 11143  abscabs 15219  π‘‚(1)co1 15468  β‰€π‘‚(1)clo1 15469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-ico 13368  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-o1 15472  df-lo1 15473
This theorem is referenced by:  elo1mpt  15516  elo1mpt2  15517  elo1d  15518  o1bdd2  15523  o1bddrp  15524  o1eq  15552  o1le  15637  pntrlog2bndlem1  27528
  Copyright terms: Public domain W3C validator