MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1o12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1o12 15481
Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (This function is useful for converting theorems about ≀𝑂(1) to 𝑂(1).) (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lo1o12.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
lo1o12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ ≀𝑂(1)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem lo1o12
StepHypRef Expression
1 lo1o12.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
21fmpttd 7109 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
3 lo1o1 15480 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ≀𝑂(1)))
42, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1) ↔ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ≀𝑂(1)))
5 absf 15288 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
65a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
76, 1cofmpt 7125 . . 3 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)))
87eleq1d 2812 . 2 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ ≀𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ ≀𝑂(1)))
94, 8bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ ≀𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  β„‚cc 11107  β„cr 11108  abscabs 15185  π‘‚(1)co1 15434  β‰€π‘‚(1)clo1 15435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-o1 15438  df-lo1 15439
This theorem is referenced by:  elo1mpt  15482  elo1mpt2  15483  elo1d  15484  o1bdd2  15489  o1bddrp  15490  o1eq  15518  o1le  15603  pntrlog2bndlem1  27461
  Copyright terms: Public domain W3C validator