Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem11 35186
Description: Lemma for erdsze 35187. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩)
erdszelem.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdszelem.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdszelem.m (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
erdszelem11 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝐹   𝑛,𝐼,𝑠,𝑥,𝑦   𝑛,𝐽,𝑠,𝑥,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑛,𝑁,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑠,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem erdszelem11
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 erdsze.f . . . 4 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3 erdszelem.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
4 erdszelem.j . . . 4 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
5 erdszelem.t . . . 4 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩)
6 erdszelem.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
7 erdszelem.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
8 erdszelem.m . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8erdszelem10 35185 . . 3 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
101adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
112adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
12 ltso 11339 . . . . . . 7 < Or ℝ
13 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑚 ∈ (1...𝑁))
146adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑅 ∈ ℕ)
15 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))
1610, 11, 3, 12, 13, 14, 15erdszelem7 35182 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
1716expr 456 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
181adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
192adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
20 gtso 11340 . . . . . . 7 < Or ℝ
21 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑚 ∈ (1...𝑁))
227adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑆 ∈ ℕ)
23 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))
2418, 19, 4, 20, 21, 22, 23erdszelem7 35182 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))
2524expr 456 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
2617, 25orim12d 966 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → ((¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
2726rexlimdva 3153 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))))))
289, 27mpd 15 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
29 r19.43 3120 . 2 (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
3028, 29sylibr 234 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹𝑠)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  𝒫 cpw 4605  cop 4637   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  cres 5691  cima 5692  1-1wf1 6560  cfv 6563   Isom wiso 6564  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cr 11152  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  ...cfz 13544  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  erdsze  35187
  Copyright terms: Public domain W3C validator