Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem11 34734
Description: Lemma for erdsze 34735. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
erdsze.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’โ„)
erdszelem.i ๐ผ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ sup((โ™ฏ โ€œ {๐‘ฆ โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘ฅ) โˆฃ ((๐น โ†พ ๐‘ฆ) Isom < , < (๐‘ฆ, (๐น โ€œ ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฆ)}), โ„, < ))
erdszelem.j ๐ฝ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ sup((โ™ฏ โ€œ {๐‘ฆ โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘ฅ) โˆฃ ((๐น โ†พ ๐‘ฆ) Isom < , โ—ก < (๐‘ฆ, (๐น โ€œ ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฆ)}), โ„, < ))
erdszelem.t ๐‘‡ = (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ โŸจ(๐ผโ€˜๐‘›), (๐ฝโ€˜๐‘›)โŸฉ)
erdszelem.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
erdszelem.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
erdszelem.m (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… โˆ’ 1) ยท (๐‘† โˆ’ 1)) < ๐‘)
Assertion
Ref Expression
erdszelem11 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)((๐‘… โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))) โˆจ (๐‘† โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , โ—ก < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ )))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐น   ๐‘›,๐ผ,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘›,๐ฝ,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘†,๐‘ ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘‡,๐‘ 
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘›)   ๐‘†(๐‘›)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)

Proof of Theorem erdszelem11
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 erdsze.f . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’โ„)
3 erdszelem.i . . . 4 ๐ผ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ sup((โ™ฏ โ€œ {๐‘ฆ โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘ฅ) โˆฃ ((๐น โ†พ ๐‘ฆ) Isom < , < (๐‘ฆ, (๐น โ€œ ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฆ)}), โ„, < ))
4 erdszelem.j . . . 4 ๐ฝ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ sup((โ™ฏ โ€œ {๐‘ฆ โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘ฅ) โˆฃ ((๐น โ†พ ๐‘ฆ) Isom < , โ—ก < (๐‘ฆ, (๐น โ€œ ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฆ)}), โ„, < ))
5 erdszelem.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ โŸจ(๐ผโ€˜๐‘›), (๐ฝโ€˜๐‘›)โŸฉ)
6 erdszelem.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
7 erdszelem.s . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
8 erdszelem.m . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… โˆ’ 1) ยท (๐‘† โˆ’ 1)) < ๐‘)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8erdszelem10 34733 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (1...๐‘)(ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)) โˆจ ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1))))
101adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
112adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)))) โ†’ ๐น:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’โ„)
12 ltso 11310 . . . . . . 7 < Or โ„
13 simprl 770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...๐‘))
146adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
15 simprr 772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)))) โ†’ ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)))
1610, 11, 3, 12, 13, 14, 15erdszelem7 34730 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘… โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))))
1716expr 456 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘… โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ )))))
181adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
192adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1)))) โ†’ ๐น:(1...๐‘)โ€“1-1โ†’โ„)
20 gtso 11311 . . . . . . 7 โ—ก < Or โ„
21 simprl 770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...๐‘))
227adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1)))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)
23 simprr 772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1)))) โ†’ ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1)))
2418, 19, 4, 20, 21, 22, 23erdszelem7 34730 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ (1...๐‘) โˆง ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1)))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘† โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , โ—ก < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))))
2524expr 456 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘† โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , โ—ก < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ )))))
2617, 25orim12d 963 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)) โˆจ ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1))) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘… โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))) โˆจ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘† โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , โ—ก < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))))))
2726rexlimdva 3150 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ (1...๐‘)(ยฌ (๐ผโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘… โˆ’ 1)) โˆจ ยฌ (๐ฝโ€˜๐‘š) โˆˆ (1...(๐‘† โˆ’ 1))) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘… โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))) โˆจ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘† โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , โ—ก < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))))))
289, 27mpd 15 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘… โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))) โˆจ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘† โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , โ—ก < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ )))))
29 r19.43 3117 . 2 (โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)((๐‘… โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))) โˆจ (๐‘† โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , โ—ก < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ )))) โ†” (โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘… โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))) โˆจ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)(๐‘† โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , โ—ก < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ )))))
3028, 29sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ ๐’ซ (1...๐‘)((๐‘… โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ ))) โˆจ (๐‘† โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆง (๐น โ†พ ๐‘ ) Isom < , โ—ก < (๐‘ , (๐น โ€œ ๐‘ )))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065  {crab 3427  ๐’ซ cpw 4598  โŸจcop 4630   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ—กccnv 5671   โ†พ cres 5674   โ€œ cima 5675  โ€“1-1โ†’wf1 6539  โ€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7414  supcsup 9449  โ„cr 11123  1c1 11125   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460  โ„•cn 12228  ...cfz 13502  โ™ฏchash 14307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-hash 14308
This theorem is referenced by:  erdsze  34735
  Copyright terms: Public domain W3C validator