Theorem erdszelem11 35765

Description: Lemma for erdsze 35766. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , ◡ < (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.t	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼‘𝑛), (𝐽‘𝑛)⟩)
erdszelem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
erdszelem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
erdszelem.m	⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
erdszelem11	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝐹   𝑛,𝐼,𝑠,𝑥,𝑦   𝑛,𝐽,𝑠,𝑥,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑛,𝑁,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑠,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠,𝑥,𝑦   𝑇,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑛)

Proof of Theorem erdszelem11

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erdsze.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		erdsze.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
3		erdszelem.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
4		erdszelem.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , ◡ < (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
5		erdszelem.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼‘𝑛), (𝐽‘𝑛)⟩)
6		erdszelem.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
7		erdszelem.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
8		erdszelem.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	erdszelem10 35764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
10	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
12		ltso 11315	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
13		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑚 ∈ (1...𝑁))
14	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → 𝑅 ∈ ℕ)
15		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → ¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))
16	10, 11, 3, 12, 13, 14, 15	erdszelem7 35761	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))))
17	16	expr 462	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))
18	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
19	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
20		gtso 11316	. . . . . . 7 ⊢ ◡ < Or ℝ
21		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑚 ∈ (1...𝑁))
22	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → 𝑆 ∈ ℕ)
23		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → ¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))
24	18, 19, 4, 20, 21, 22, 23	erdszelem7 35761	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (1...𝑁) ∧ ¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))))
25	24	expr 462	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))
26	17, 25	orim12d 979	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → ((¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))))))
27	26	rexlimdva 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼‘𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽‘𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))))))
28	9, 27	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))
29		r19.43 3132	. 2 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)(𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))
30	28, 29	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (1...𝑁)((𝑅 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠))) ∨ (𝑆 ≤ (♯‘𝑠) ∧ (𝐹 ↾ 𝑠) Isom < , ◡ < (𝑠, (𝐹 “ 𝑠)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {crab 3414  𝒫 cpw 4560  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   “ cima 5662  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537   Isom wiso 6538  (class class class)co 7416  supcsup 9413  ℝcr 11124  1c1 11126   · cmul 11130   < clt 11268   ≤ cle 11269   − cmin 11466  ℕcn 12258  ...cfz 13561  ♯chash 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-hash 14395

This theorem is used by:  erdsze  35766