Theorem sqsqrtd 15479

Description: Square root theorem. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqsqrtd	⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)

Proof of Theorem sqsqrtd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtth 15404	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  2c2 12322  ↑cexp 14103  √csqrt 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15480  sqr00d  15481  sqrt2irrlem  16285  zsqrtelqelz  16796  nonsq  16797  prmreclem3  16957  nmsq  25229  cphipipcj  25235  ipcau2  25269  tcphcphlem1  25270  tcphcph  25272  minveclem3b  25463  efif1olem3  26587  efif1olem4  26588  cxpsqrt  26746  loglesqrt  26805  quad  26884  cubic  26893  quartlem4  26904  quart  26905  asinlem  26912  asinlem2  26913  efiatan2  26961  cosatan  26965  cosatanne0  26966  atans2  26975  chpub  27265  addsqnreup  27488  chtppilim  27520  rplogsumlem1  27529  dchrisum0flblem1  27553  dchrisum0flblem2  27554  dchrisum0fno1  27556  sin2h  37618  cos2h  37619  areacirclem1  37716  areacirclem5  37720  pell1234qrne0  42869  pell1234qrreccl  42870  pell1234qrmulcl  42871  pell14qrgt0  42875  pell14qrdich  42885  pell1qrgaplem  42889  pell14qrgapw  42892  pellqrex  42895  rmxyneg  42937  jm2.22  43012  sqrtcval  43659  et-sqrtnegnre  46893