Theorem sqsqrtd 15529

Description: Square root theorem. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqsqrtd	⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)

Proof of Theorem sqsqrtd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtth 15452	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  2c2 12319  ↑cexp 14125  √csqrt 15320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323

This theorem is used by:  msqsqrtd  15530  sqr00d  15531  sqrt2irrlem  16336  zsqrtelqelz  16849  nonsq  16850  prmreclem3  17010  nmsq  25422  cphipipcj  25428  ipcau2  25462  tcphcphlem1  25463  tcphcph  25465  minveclem3b  25656  efif1olem3  26781  efif1olem4  26782  cxpsqrt  26940  loglesqrt  26998  quad  27077  cubic  27086  quartlem4  27097  quart  27098  asinlem  27105  asinlem2  27106  efiatan2  27154  cosatan  27158  cosatanne0  27159  atans2  27168  chpub  27456  addsqnreup  27679  chtppilim  27711  rplogsumlem1  27720  dchrisum0flblem1  27744  dchrisum0flblem2  27745  dchrisum0fno1  27747  iconstr  34276  constrresqrtcl  34287  sin2h  38364  cos2h  38365  areacirclem1  38457  areacirclem5  38461  pell1234qrne0  43694  pell1234qrreccl  43695  pell1234qrmulcl  43696  pell14qrgt0  43700  pell14qrdich  43710  pell1qrgaplem  43714  pell14qrgapw  43717  pellqrex  43720  rmxyneg  43761  jm2.22  43836  sqrtcval  44481  et-sqrtnegnre  47701  sqrtnnaa  47731