Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem11 44387
Description: A change of bound variable, often used in proofs for etransc 44425. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
etransclem11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐,𝑑,𝑗,𝑘   𝑚,𝑀,𝑐,𝑑,𝑗   𝑛,𝑀,𝑐,𝑑,𝑘   𝑚,𝑛

Proof of Theorem etransclem11
StepHypRef Expression
1 oveq2 7359 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (0...𝑛) = (0...𝑚))
21oveq1d 7366 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) = ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)))
32rabeqdv 3420 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
4 fveq2 6839 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑐𝑗) = (𝑐𝑘))
54cbvsumv 15541 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘)
6 fveq1 6838 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝑘) = (𝑑𝑘))
76sumeq2sdv 15549 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘))
85, 7eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘))
98eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛 ↔ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑛))
109cbvrabv 3415 . . . 4 {𝑐 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑛}
11 eqeq2 2749 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑛 ↔ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚))
1211rabbidv 3413 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑛} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
1310, 12eqtrid 2789 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → {𝑐 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
143, 13eqtrd 2777 . 2 (𝑛 = 𝑚 → {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
1514cbvmptv 5216 1 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑𝑘) = 𝑚})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  {crab 3405  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  m cmap 8723  0cc0 11009  0cn0 12371  ...cfz 13378  Σcsu 15530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-seq 13861  df-sum 15531
This theorem is referenced by:  etransclem32  44408  etransclem33  44409  etransclem36  44412  etransclem37  44413  etransclem38  44414  etransclem40  44416  etransclem41  44417  etransclem42  44418  etransclem44  44420  etransclem45  44421
  Copyright terms: Public domain W3C validator