Theorem etransclem11 45546

Description: A change of bound variable, often used in proofs for etransc 45584. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
etransclem11	⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚})

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐,𝑑,𝑗,𝑘   𝑚,𝑀,𝑐,𝑑,𝑗   𝑛,𝑀,𝑐,𝑑,𝑘   𝑚,𝑛

Proof of Theorem etransclem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (0...𝑛) = (0...𝑚))
2	1	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) = ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)))
3	2	rabeqdv 3442	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛} = {𝑐 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
4		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑐‘𝑗) = (𝑐‘𝑘))
5	4	cbvsumv 15660	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑘)
6		fveq1 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘𝑘) = (𝑑‘𝑘))
7	6	sumeq2sdv 15668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘))
8	5, 7	eqtrid 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘))
9	8	eqeq1d 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛 ↔ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑛))
10	9	cbvrabv 3437	. . . 4 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑛}
11		eqeq2 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑛 ↔ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚))
12	11	rabbidv 3435	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑛} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚})
13	10, 12	eqtrid 2779	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {𝑐 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚})
14	3, 13	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛} = {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚})
15	14	cbvmptv 5255	1 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛}) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑑 ∈ ((0...𝑚) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑑‘𝑘) = 𝑚})

Syntax hints:   = wceq 1534  {crab 3427   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8834  0cc0 11124  ℕ₀cn0 12488  ...cfz 13502  Σcsu 15650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-seq 13985  df-sum 15651

This theorem is referenced by:  etransclem32  45567  etransclem33  45568  etransclem36  45571  etransclem37  45572  etransclem38  45573  etransclem40  45575  etransclem41  45576  etransclem42  45577  etransclem44  45579  etransclem45  45580