MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexp2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexp2a 14202
Description: Exponent ordering relationship for exponentiation of a fixed real base greater than 1 to integer exponents. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltexp2a (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (𝐴𝑀) < (𝐴𝑁))

Proof of Theorem ltexp2a
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 0red 11261 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 11259 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
4 0lt1 11782 . . . . . . . . 9 0 < 1
54a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 0 < 1)
6 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 1 < 𝐴)
72, 3, 1, 5, 6lttrd 11419 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 0 < 𝐴)
81, 7elrpd 13071 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
9 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 rpexpcl 14117 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ+)
1211rpred 13074 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
1312recnd 11286 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
1413mullidd 11276 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (1 · (𝐴𝑀)) = (𝐴𝑀))
15 simprr 773 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 𝑀 < 𝑁)
16 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 znnsub 12660 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
189, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
1915, 18mpbid 232 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
20 expgt1 14137 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < (𝐴↑(𝑁𝑀)))
211, 19, 6, 20syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 1 < (𝐴↑(𝑁𝑀)))
221recnd 11286 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
237gt0ne0d 11824 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 𝐴 ≠ 0)
24 expsub 14147 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
2522, 23, 16, 9, 24syl22anc 839 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) = ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
2621, 25breqtrd 5173 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → 1 < ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀)))
27 rpexpcl 14117 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
288, 16, 27syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
2928rpred 13074 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
303, 29, 11ltmuldivd 13121 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → ((1 · (𝐴𝑀)) < (𝐴𝑁) ↔ 1 < ((𝐴𝑁) / (𝐴𝑀))))
3126, 30mpbird 257 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (1 · (𝐴𝑀)) < (𝐴𝑁))
3214, 31eqbrtrrd 5171 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴𝑀 < 𝑁)) → (𝐴𝑀) < (𝐴𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  cz 12610  +crp 13031  cexp 14098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099
This theorem is referenced by:  expcan  14205  ltexp2  14206  expnass  14243  perfectlem2  27288  2sqblem  27489  hgt750lemd  34641  hgt750lem  34644  2pwp1prm  47513  perfectALTVlem2  47646  tgblthelfgott  47739  tgoldbach  47741  expnegico01  48363
  Copyright terms: Public domain W3C validator