Theorem fac2xp3 41563

Description: Factorial of 2x+3, sublemma for sublemma for AKS. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fac2xp3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))

Proof of Theorem fac2xp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		nn0cn 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
3		mulcl 11193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addass 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
7	1, 5, 6	mp3an23 1449	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
9		df-3 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 = (2 + 1)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 3 = (2 + 1))
11	10	oveq2d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 3) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
12	8, 11	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + 3))
13	12	fveq2d 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = (!‘((2 · 𝑥) + 3)))
14		2nn0 12490	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		nn0mulcl 12509	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mpan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
17		nn0addcl 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
18	14, 17	mpan2 688	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
20		facp1 14240	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
22	13, 21	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
23	12	oveq2d 7420	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
24	22, 23	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
25		addass 11196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
26	5, 5, 25	mp3an23 1449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
27	4, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
28		df-2 12276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 2 = (1 + 1))
30	29	oveq2d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
31	27, 30	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + 2))
32	31	fveq2d 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = (!‘((2 · 𝑥) + 2)))
33		peano2nn0 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
34	16, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
35		facp1 14240	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
37	32, 36	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
38	31	oveq2d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)))
39	37, 38	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)))
40	39	oveq1d 7419	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
41	40	eqeq2d 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) ↔ (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3))))
42	24, 41	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
43		faccl 14245	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ)
44	34, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ)
45		nncn 12221	. . . 4 ⊢ ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
47		addcl 11191	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ)
48	4, 1, 47	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ)
49		3cn 12294	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
50		addcl 11191	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ)
51	4, 49, 50	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ)
52		mulass 11197	. . 3 ⊢ (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ) → (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))
53	46, 48, 51, 52	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))
54	42, 53	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  ℕcn 12213  2c2 12268  3c3 12269  ℕ₀cn0 12473  !cfa 14235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-fac 14236

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