Theorem fac2xp3 39177

Description: Factorial of 2x+3, sublemma for sublemma for AKS. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fac2xp3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))

Proof of Theorem fac2xp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11706	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		nn0cn 11901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
3		mulcl 10614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
5		ax-1cn 10588	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addass 10617	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
7	1, 5, 6	mp3an23 1448	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
9		df-3 11695	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 = (2 + 1)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 3 = (2 + 1))
11	10	oveq2d 7165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 3) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
12	8, 11	eqtr4d 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + 3))
13	12	fveq2d 6667	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = (!‘((2 · 𝑥) + 3)))
14		2nn0 11908	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		nn0mulcl 11927	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
17		nn0addcl 11926	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
18	14, 17	mpan2 689	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
20		facp1 13635	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
22	13, 21	eqtr3d 2857	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
23	12	oveq2d 7165	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
24	22, 23	eqtrd 2855	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
25		addass 10617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
26	5, 5, 25	mp3an23 1448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
27	4, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
28		df-2 11694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 2 = (1 + 1))
30	29	oveq2d 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
31	27, 30	eqtr4d 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + 2))
32	31	fveq2d 6667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = (!‘((2 · 𝑥) + 2)))
33		peano2nn0 11931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
34	16, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
35		facp1 13635	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
37	32, 36	eqtr3d 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
38	31	oveq2d 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)))
39	37, 38	eqtrd 2855	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)))
40	39	oveq1d 7164	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
41	40	eqeq2d 2831	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) ↔ (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3))))
42	24, 41	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
43		faccl 13640	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ)
44	34, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ)
45		nncn 11639	. . . 4 ⊢ ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
47		addcl 10612	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ)
48	4, 1, 47	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ)
49		3cn 11712	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
50		addcl 10612	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ)
51	4, 49, 50	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ)
52		mulass 10618	. . 3 ⊢ (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ) → (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))
53	46, 48, 51, 52	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))
54	42, 53	eqtrd 2855	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  ℂcc 10528  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  ℕcn 11631  2c2 11686  3c3 11687  ℕ₀cn0 11891  !cfa 13630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13367  df-fac 13631

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