Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fac2xp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fac2xp3 41723
Description: Factorial of 2x+3, sublemma for sublemma for AKS. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
fac2xp3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))))

Proof of Theorem fac2xp3
StepHypRef Expression
1 2cn 12325 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
2 nn0cn 12520 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3 mulcl 11230 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
5 ax-1cn 11204 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
6 addass 11233 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 + 1)))
71, 5, 6mp3an23 1449 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 + 1)))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 + 1)))
9 df-3 12314 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
109a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 = (2 + 1))
1110oveq2d 7442 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 + 1)))
128, 11eqtr4d 2771 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))
1312fveq2d 6906 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)) = (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)))
14 2nn0 12527 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
15 nn0mulcl 12546 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
1614, 15mpan 688 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
17 nn0addcl 12545 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„•0)
1814, 17mpan2 689 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„•0)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„•0)
20 facp1 14277 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)))
2119, 20syl 17 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)))
2213, 21eqtr3d 2770 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)))
2312oveq2d 7442 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)))
2422, 23eqtrd 2768 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)))
25 addass 11233 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
265, 5, 25mp3an23 1449 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
274, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
28 df-2 12313 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 = (1 + 1))
3029oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
3127, 30eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2))
3231fveq2d 6906 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)) = (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)))
33 peano2nn0 12550 . . . . . . . . 9 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„•0)
3416, 33syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„•0)
35 facp1 14277 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)))
3732, 36eqtr3d 2770 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)))
3831oveq2d 7442 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)))
3937, 38eqtrd 2768 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)))
4039oveq1d 7441 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)))
4140eqeq2d 2739 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) โ†” (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))))
4224, 41mpbid 231 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)))
43 faccl 14282 . . . . 5 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„•)
4434, 43syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„•)
45 nncn 12258 . . . 4 ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„‚)
4644, 45syl 17 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„‚)
47 addcl 11228 . . . 4 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„‚)
484, 1, 47sylancl 584 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„‚)
49 3cn 12331 . . . 4 3 โˆˆ โ„‚
50 addcl 11228 . . . 4 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3) โˆˆ โ„‚)
514, 49, 50sylancl 584 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3) โˆˆ โ„‚)
52 mulass 11234 . . 3 (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))))
5346, 48, 51, 52syl3anc 1368 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))))
5442, 53eqtrd 2768 1 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151  โ„•cn 12250  2c2 12305  3c3 12306  โ„•0cn0 12510  !cfa 14272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007  df-fac 14273
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator