Theorem fac2xp3 41008

Description: Factorial of 2x+3, sublemma for sublemma for AKS. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fac2xp3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))

Proof of Theorem fac2xp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		nn0cn 12478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
3		mulcl 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addass 11193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
7	1, 5, 6	mp3an23 1453	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
9		df-3 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 = (2 + 1)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 3 = (2 + 1))
11	10	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 3) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
12	8, 11	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + 3))
13	12	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = (!‘((2 · 𝑥) + 3)))
14		2nn0 12485	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		nn0mulcl 12504	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
17		nn0addcl 12503	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
18	14, 17	mpan2 689	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
20		facp1 14234	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
22	13, 21	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
23	12	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
24	22, 23	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
25		addass 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
26	5, 5, 25	mp3an23 1453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
27	4, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
28		df-2 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 2 = (1 + 1))
30	29	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
31	27, 30	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + 2))
32	31	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = (!‘((2 · 𝑥) + 2)))
33		peano2nn0 12508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
34	16, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
35		facp1 14234	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
37	32, 36	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
38	31	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)))
39	37, 38	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)))
40	39	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
41	40	eqeq2d 2743	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) ↔ (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3))))
42	24, 41	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
43		faccl 14239	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ)
44	34, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ)
45		nncn 12216	. . . 4 ⊢ ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
47		addcl 11188	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ)
48	4, 1, 47	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ)
49		3cn 12289	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
50		addcl 11188	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ)
51	4, 49, 50	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ)
52		mulass 11194	. . 3 ⊢ (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ) → (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))
53	46, 48, 51, 52	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))
54	42, 53	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  ℕcn 12208  2c2 12263  3c3 12264  ℕ₀cn0 12468  !cfa 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-fac 14230

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