Theorem fac2xp3 42240

Description: Factorial of 2x+3, sublemma for sublemma for AKS. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fac2xp3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))

Proof of Theorem fac2xp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		nn0cn 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
3		mulcl 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addass 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
7	1, 5, 6	mp3an23 1455	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
9		df-3 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 = (2 + 1)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 3 = (2 + 1))
11	10	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 3) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
12	8, 11	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + 3))
13	12	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = (!‘((2 · 𝑥) + 3)))
14		2nn0 12543	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		nn0mulcl 12562	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
17		nn0addcl 12561	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
18	14, 17	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
20		facp1 14317	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
22	13, 21	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
23	12	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
24	22, 23	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
25		addass 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
26	5, 5, 25	mp3an23 1455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
27	4, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
28		df-2 12329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 2 = (1 + 1))
30	29	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
31	27, 30	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + 2))
32	31	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = (!‘((2 · 𝑥) + 2)))
33		peano2nn0 12566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
34	16, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
35		facp1 14317	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
37	32, 36	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
38	31	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)))
39	37, 38	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)))
40	39	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
41	40	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) ↔ (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3))))
42	24, 41	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
43		faccl 14322	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ)
44	34, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ)
45		nncn 12274	. . . 4 ⊢ ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
47		addcl 11237	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ)
48	4, 1, 47	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ)
49		3cn 12347	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
50		addcl 11237	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ)
51	4, 49, 50	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ)
52		mulass 11243	. . 3 ⊢ (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ) → (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))
53	46, 48, 51, 52	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))
54	42, 53	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  ℕ₀cn0 12526  !cfa 14312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-fac 14313

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