Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fac2xp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fac2xp3 40658
Description: Factorial of 2x+3, sublemma for sublemma for AKS. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
fac2xp3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))))

Proof of Theorem fac2xp3
StepHypRef Expression
1 2cn 12233 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
2 nn0cn 12428 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3 mulcl 11140 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
41, 2, 3sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
5 ax-1cn 11114 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
6 addass 11143 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 + 1)))
71, 5, 6mp3an23 1454 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 + 1)))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 + 1)))
9 df-3 12222 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
109a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ 3 = (2 + 1))
1110oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 + 1)))
128, 11eqtr4d 2776 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))
1312fveq2d 6847 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)) = (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)))
14 2nn0 12435 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
15 nn0mulcl 12454 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
1614, 15mpan 689 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
17 nn0addcl 12453 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„•0)
1814, 17mpan2 690 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„•0)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„•0)
20 facp1 14184 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)))
2119, 20syl 17 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)))
2213, 21eqtr3d 2775 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)))
2312oveq2d 7374 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)))
2422, 23eqtrd 2773 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)))
25 addass 11143 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
265, 5, 25mp3an23 1454 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
274, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
28 df-2 12221 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 = (1 + 1))
3029oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (1 + 1)))
3127, 30eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2))
3231fveq2d 6847 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)) = (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)))
33 peano2nn0 12458 . . . . . . . . 9 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„•0)
3416, 33syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„•0)
35 facp1 14184 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)))
3732, 36eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)))
3831oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) + 1)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)))
3937, 38eqtrd 2773 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)))
4039oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)))
4140eqeq2d 2744 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) โ†” (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))))
4224, 41mpbid 231 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)))
43 faccl 14189 . . . . 5 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„•)
4434, 43syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„•)
45 nncn 12166 . . . 4 ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„‚)
4644, 45syl 17 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„‚)
47 addcl 11138 . . . 4 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„‚)
484, 1, 47sylancl 587 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„‚)
49 3cn 12239 . . . 4 3 โˆˆ โ„‚
50 addcl 11138 . . . 4 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3) โˆˆ โ„‚)
514, 49, 50sylancl 587 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3) โˆˆ โ„‚)
52 mulass 11144 . . 3 (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))))
5346, 48, 51, 52syl3anc 1372 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 2)) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))))
5442, 53eqtrd 2773 1 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 3)) = ((!โ€˜((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)) ยท (((2 ยท ๐‘ฅ) + 2) ยท ((2 ยท ๐‘ฅ) + 3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  โ„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  โ„•0cn0 12418  !cfa 14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-seq 13913  df-fac 14180
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator