Theorem fac2xp3 42196

Description: Factorial of 2x+3, sublemma for sublemma for AKS. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fac2xp3	⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))

Proof of Theorem fac2xp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12368	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		nn0cn 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
3		mulcl 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
5		ax-1cn 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		addass 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
7	1, 5, 6	mp3an23 1453	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
9		df-3 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 = (2 + 1)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 3 = (2 + 1))
11	10	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 3) = ((2 · 𝑥) + (2 + 1)))
12	8, 11	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 2) + 1) = ((2 · 𝑥) + 3))
13	12	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = (!‘((2 · 𝑥) + 3)))
14		2nn0 12570	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		nn0mulcl 12589	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
16	14, 15	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
17		nn0addcl 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
18	14, 17	mpan2 690	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
19	16, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0)
20		facp1 14327	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
22	13, 21	eqtr3d 2782	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)))
23	12	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · (((2 · 𝑥) + 2) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
24	22, 23	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
25		addass 11271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
26	5, 5, 25	mp3an23 1453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
27	4, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
28		df-2 12356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 2 = (1 + 1))
30	29	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) = ((2 · 𝑥) + (1 + 1)))
31	27, 30	eqtr4d 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑥) + 1) + 1) = ((2 · 𝑥) + 2))
32	31	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = (!‘((2 · 𝑥) + 2)))
33		peano2nn0 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
34	16, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0)
35		facp1 14327	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘(((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
37	32, 36	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)))
38	31	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 1) + 1)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)))
39	37, 38	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 2)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)))
40	39	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
41	40	eqeq2d 2751	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) ↔ (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3))))
42	24, 41	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)))
43		faccl 14332	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ)
44	34, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ)
45		nncn 12301	. . . 4 ⊢ ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℕ → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ)
47		addcl 11266	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ)
48	4, 1, 47	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ)
49		3cn 12374	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
50		addcl 11266	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ)
51	4, 49, 50	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ)
52		mulass 11272	. . 3 ⊢ (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑥) + 2) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑥) + 3) ∈ ℂ) → (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))
53	46, 48, 51, 52	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · ((2 · 𝑥) + 2)) · ((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))
54	42, 53	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑥) + 3)) = ((!‘((2 · 𝑥) + 1)) · (((2 · 𝑥) + 2) · ((2 · 𝑥) + 3))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  ℕ₀cn0 12553  !cfa 14322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-fac 14323

This theorem is referenced by: (None)