Theorem fldsdrgfldext 34158

Description: A sub-division-ring of a field forms a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldsdrgfldext.1	⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
fldsdrgfldext.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldsdrgfldext.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfldext	⊢ (𝜑 → 𝐹/FldExt𝐺)

Proof of Theorem fldsdrgfldext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldsdrgfldext.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2		fldsdrgfldext.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
3		fldsdrgfldext.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
4		fldsdrgfld 20965	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
5	1, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
6	2, 5	eqeltrid 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Field)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	7	sdrgss 20960	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐹))
9	2, 7	ressbas2 17334	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐹) → 𝐴 = (Base‘𝐺))
10	3, 8, 9	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝐺))
11	10	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)))
12	2, 11	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)))
13		sdrgsubrg 20958	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
14	3, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
15	10, 14	eqeltrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))
16		brfldext 34142	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐺 ∈ Field) → (𝐹/FldExt𝐺 ↔ (𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)) ∧ (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))))
17	16	biimpar 483	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐺 ∈ Field) ∧ (𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)) ∧ (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))) → 𝐹/FldExt𝐺)
18	1, 6, 12, 15, 17	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹/FldExt𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  SubRingcsubrg 20732  Fieldcfield 20892  SubDRingcsdrg 20953  /_FldExtcfldext 34135

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-cmn 19910  df-mgp 20275  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrg 20733  df-field 20894  df-sdrg 20954  df-fldext 34138

This theorem is used by:  fldsdrgfldext2  34159