Theorem fldsdrgfldext 34360

Description: A sub-division-ring of a field forms a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldsdrgfldext.1	⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
fldsdrgfldext.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldsdrgfldext.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfldext	⊢ (𝜑 → 𝐹/FldExt𝐺)

Proof of Theorem fldsdrgfldext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldsdrgfldext.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2		fldsdrgfldext.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
3		fldsdrgfldext.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
4		fldsdrgfld 21082	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
5	1, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
6	2, 5	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Field)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	7	sdrgss 21077	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐹))
9	2, 7	ressbas2 17442	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐹) → 𝐴 = (Base‘𝐺))
10	3, 8, 9	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝐺))
11	10	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)))
12	2, 11	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)))
13		sdrgsubrg 21075	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
14	3, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
15	10, 14	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))
16		brfldext 34344	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐺 ∈ Field) → (𝐹/FldExt𝐺 ↔ (𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)) ∧ (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))))
17	16	biimpar 483	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐺 ∈ Field) ∧ (𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)) ∧ (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))) → 𝐹/FldExt𝐺)
18	1, 6, 12, 15, 17	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹/FldExt𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  SubRingcsubrg 20848  Fieldcfield 21008  SubDRingcsdrg 21070  /_FldExtcfldext 34337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-cmn 20023  df-mgp 20388  df-ring 20488  df-cring 20489  df-subrg 20849  df-field 21010  df-sdrg 21071  df-fldext 34340

This theorem is used by:  fldsdrgfldext2  34361