Theorem fldsdrgfldext 33820

Description: A sub-division-ring of a field forms a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldsdrgfldext.1	⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
fldsdrgfldext.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldsdrgfldext.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfldext	⊢ (𝜑 → 𝐹/FldExt𝐺)

Proof of Theorem fldsdrgfldext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldsdrgfldext.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2		fldsdrgfldext.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
3		fldsdrgfldext.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
4		fldsdrgfld 20735	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
5	1, 3, 4	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
6	2, 5	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Field)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	7	sdrgss 20730	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐹))
9	2, 7	ressbas2 17169	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐹) → 𝐴 = (Base‘𝐺))
10	3, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝐺))
11	10	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)))
12	2, 11	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)))
13		sdrgsubrg 20728	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
14	3, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
15	10, 14	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))
16		brfldext 33804	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐺 ∈ Field) → (𝐹/FldExt𝐺 ↔ (𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)) ∧ (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))))
17	16	biimpar 477	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐺 ∈ Field) ∧ (𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)) ∧ (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))) → 𝐹/FldExt𝐺)
18	1, 6, 12, 15, 17	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹/FldExt𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  SubRingcsubrg 20506  Fieldcfield 20667  SubDRingcsdrg 20723  /_FldExtcfldext 33797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-cmn 19715  df-mgp 20080  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrg 20507  df-field 20669  df-sdrg 20724  df-fldext 33800

This theorem is referenced by:  fldsdrgfldext2  33821