Theorem fldsdrgfldext 33857

Description: A sub-division-ring of a field forms a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldsdrgfldext.1	⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
fldsdrgfldext.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldsdrgfldext.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfldext	⊢ (𝜑 → 𝐹/FldExt𝐺)

Proof of Theorem fldsdrgfldext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldsdrgfldext.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2		fldsdrgfldext.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
3		fldsdrgfldext.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
4		fldsdrgfld 20774	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
5	1, 3, 4	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
6	2, 5	eqeltrid 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Field)
7		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8	7	sdrgss 20769	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐹))
9	2, 7	ressbas2 17203	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐹) → 𝐴 = (Base‘𝐺))
10	3, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝐺))
11	10	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)))
12	2, 11	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)))
13		sdrgsubrg 20767	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
14	3, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
15	10, 14	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))
16		brfldext 33841	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐺 ∈ Field) → (𝐹/FldExt𝐺 ↔ (𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)) ∧ (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))))
17	16	biimpar 479	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐺 ∈ Field) ∧ (𝐺 = (𝐹 ↾s (Base‘𝐺)) ∧ (Base‘𝐺) ∈ (SubRing‘𝐹))) → 𝐹/FldExt𝐺)
18	1, 6, 12, 15, 17	syl22anc 845	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹/FldExt𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  SubRingcsubrg 20545  Fieldcfield 20706  SubDRingcsdrg 20762  /_FldExtcfldext 33834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-cmn 19752  df-mgp 20117  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrg 20546  df-field 20708  df-sdrg 20763  df-fldext 33837

This theorem is referenced by:  fldsdrgfldext2  33858