Theorem extdgid 33844

Description: A trivial field extension has degree one. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdgid	⊢ (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = 1)

Proof of Theorem extdgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextid 33843	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸/FldExt𝐸)
2		extdgval 33837	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐸 → (𝐸[:]𝐸) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))))
4		isfld 20712	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
5	4	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ DivRing)
6		rlmval 21181	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝐸) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))
7	6	eqcomi 2748	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸)) = (ringLMod‘𝐸)
8	7	rlmdim 33794	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ DivRing → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))) = 1)
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Field → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))) = 1)
10	3, 9	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030  Basecbs 17170  CRingccrg 20206  DivRingcdr 20701  Fieldcfield 20702  subringAlg csra 21161  ringLModcrglmod 21162  dimcldim 33783  /_FldExtcfldext 33822  [:]cextdg 33824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-reg 9497  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9415  df-r1 9679  df-rank 9680  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ocomp 17232  df-0g 17395  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-mri 17541  df-acs 17542  df-proset 18251  df-drs 18252  df-poset 18270  df-ipo 18485  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-subrg 20542  df-drng 20703  df-field 20704  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lbs 21065  df-lvec 21093  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-rsp 21202  df-lindf 21781  df-linds 21782  df-dim 33784  df-fldext 33825  df-extdg 33826

This theorem is referenced by:  extdg1b  33851  fldext2chn  33912