Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extdgid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem extdgid 33651
Description: A trivial field extension has degree one. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
extdgid (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = 1)

Proof of Theorem extdgid
StepHypRef Expression
1 fldextid 33650 . . 3 (𝐸 ∈ Field → 𝐸/FldExt𝐸)
2 extdgval 33645 . . 3 (𝐸/FldExt𝐸 → (𝐸[:]𝐸) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))))
31, 2syl 17 . 2 (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))))
4 isfld 20738 . . . 4 (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
54simplbi 497 . . 3 (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ DivRing)
6 rlmval 21197 . . . . 5 (ringLMod‘𝐸) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))
76eqcomi 2742 . . . 4 ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸)) = (ringLMod‘𝐸)
87rlmdim 33600 . . 3 (𝐸 ∈ DivRing → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))) = 1)
95, 8syl 17 . 2 (𝐸 ∈ Field → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))) = 1)
103, 9eqtrd 2773 1 (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1535  wcel 2104   class class class wbr 5149  cfv 6558  (class class class)co 7425  1c1 11147  Basecbs 17234  CRingccrg 20237  DivRingcdr 20727  Fieldcfield 20728  subringAlg csra 21169  ringLModcrglmod 21170  dimcldim 33589  /FldExtcfldext 33629  [:]cextdg 33632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-reg 9623  ax-inf2 9672  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-tpos 8244  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-er 8738  df-map 8861  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-oi 9541  df-r1 9795  df-rank 9796  df-card 9970  df-acn 9973  df-ac 10147  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-fz 13538  df-hash 14356  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ocomp 17308  df-0g 17477  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-mri 17622  df-acs 17623  df-proset 18341  df-drs 18342  df-poset 18359  df-ipo 18574  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18795  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-subg 19139  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-ring 20238  df-oppr 20336  df-dvdsr 20359  df-unit 20360  df-invr 20390  df-subrg 20573  df-drng 20729  df-field 20730  df-lmod 20858  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lbs 21073  df-lvec 21101  df-sra 21171  df-rgmod 21172  df-lidl 21217  df-rsp 21218  df-lindf 21825  df-linds 21826  df-dim 33590  df-fldext 33633  df-extdg 33634
This theorem is referenced by:  extdg1b  33655  fldext2chn  33697
  Copyright terms: Public domain W3C validator