Theorem extdgid 33385

Description: A trivial field extension has degree one. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdgid	⊢ (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = 1)

Proof of Theorem extdgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextid 33384	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸/FldExt𝐸)
2		extdgval 33379	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐸 → (𝐸[:]𝐸) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))))
4		isfld 20642	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
5	4	simplbi 496	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ DivRing)
6		rlmval 21091	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝐸) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))
7	6	eqcomi 2737	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸)) = (ringLMod‘𝐸)
8	7	rlmdim 33340	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ DivRing → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))) = 1)
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Field → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))) = 1)
10	3, 9	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147  Basecbs 17187  CRingccrg 20181  DivRingcdr 20631  Fieldcfield 20632  subringAlg csra 21063  ringLModcrglmod 21064  dimcldim 33329  /_FldExtcfldext 33363  [:]cextdg 33366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-reg 9623  ax-inf2 9672  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-oi 9541  df-r1 9795  df-rank 9796  df-card 9970  df-acn 9973  df-ac 10147  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ocomp 17261  df-0g 17430  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-mri 17575  df-acs 17576  df-proset 18294  df-drs 18295  df-poset 18312  df-ipo 18527  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lbs 20967  df-lvec 20995  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112  df-lindf 21747  df-linds 21748  df-dim 33330  df-fldext 33367  df-extdg 33368

This theorem is referenced by:  extdg1b  33389