Theorem extdgid 32728

Description: A trivial field extension has degree one. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
extdgid	⊢ (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = 1)

Proof of Theorem extdgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextid 32727	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸/FldExt𝐸)
2		extdgval 32722	. . 3 ⊢ (𝐸/FldExt𝐸 → (𝐸[:]𝐸) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))))
4		isfld 20319	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ Field ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐸 ∈ CRing))
5	4	simplbi 499	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ DivRing)
6		rlmval 20806	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝐸) = ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))
7	6	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸)) = (ringLMod‘𝐸)
8	7	rlmdim 32683	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ DivRing → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))) = 1)
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Field → (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘(Base‘𝐸))) = 1)
10	3, 9	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝐸 ∈ Field → (𝐸[:]𝐸) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  1c1 11108  Basecbs 17141  CRingccrg 20051  DivRingcdr 20308  Fieldcfield 20309  subringAlg csra 20774  ringLModcrglmod 20775  dimcldim 32673  /_FldExtcfldext 32706  [:]cextdg 32709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-reg 9584  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-oi 9502  df-r1 9756  df-rank 9757  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ocomp 17215  df-0g 17384  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-mri 17529  df-acs 17530  df-proset 18245  df-drs 18246  df-poset 18263  df-ipo 18478  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-drng 20310  df-field 20311  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lbs 20679  df-lvec 20707  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-lidl 20780  df-rsp 20781  df-lindf 21353  df-linds 21354  df-dim 32674  df-fldext 32710  df-extdg 32711

This theorem is referenced by:  extdg1b  32732