Theorem fldsdrgfldext2 33826

Description: A sub-sub-division-ring of a field forms a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldsdrgfldext.1	⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
fldsdrgfldext.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldsdrgfldext.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
fldsdrgfldext2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺))
fldsdrgfldext2.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfldext2	⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt𝐻)

Proof of Theorem fldsdrgfldext2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s 𝐵)
2		fldsdrgfldext.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
3		fldsdrgfldext.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
4		fldsdrgfldext.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
5		fldsdrgfld 20770	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
7	2, 6	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Field)
8		fldsdrgfldext2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺))
9	1, 7, 8	fldsdrgfldext 33825	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt(𝐺 ↾s 𝐵))
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	sdrgss 20765	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
14	13	sdrgss 20765	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐹))
15	2, 13	ressbas2 17203	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐹) → 𝐴 = (Base‘𝐺))
16	4, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝐺))
17	12, 16	sseqtrrd 3960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
18		ressabs 17213	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝐹 ↾s 𝐵))
19	4, 17, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝐹 ↾s 𝐵))
20	2	oveq1i 7372	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐵) = ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
21		fldsdrgfldext2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾s 𝐵)
22	19, 20, 21	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐻)
23	9, 22	breqtrd 5112	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  Fieldcfield 20702  SubDRingcsdrg 20758  /_FldExtcfldext 33802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-cmn 19752  df-mgp 20117  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrg 20542  df-field 20704  df-sdrg 20759  df-fldext 33805

This theorem is referenced by:  fldextrspundglemul  33843  fldextrspundgdvdslem  33844  fldextrspundgdvds  33845  fldext2rspun  33846