Theorem fldsdrgfldext2 33997

Description: A sub-sub-division-ring of a field forms a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldsdrgfldext.1	⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
fldsdrgfldext.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldsdrgfldext.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
fldsdrgfldext2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺))
fldsdrgfldext2.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfldext2	⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt𝐻)

Proof of Theorem fldsdrgfldext2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s 𝐵)
2		fldsdrgfldext.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
3		fldsdrgfldext.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
4		fldsdrgfldext.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
5		fldsdrgfld 20879	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
7	2, 6	eqeltrid 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Field)
8		fldsdrgfldext2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺))
9	1, 7, 8	fldsdrgfldext 33996	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt(𝐺 ↾s 𝐵))
10		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	sdrgss 20874	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
12	8, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
13		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
14	13	sdrgss 20874	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐹))
15	2, 13	ressbas2 17298	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐹) → 𝐴 = (Base‘𝐺))
16	4, 14, 15	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝐺))
17	12, 16	sseqtrrd 3980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
18		ressabs 17308	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝐹 ↾s 𝐵))
19	4, 17, 18	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝐹 ↾s 𝐵))
20	2	oveq1i 7421	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐵) = ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
21		fldsdrgfldext2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾s 𝐵)
22	19, 20, 21	3eqtr4g 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐻)
23	9, 22	breqtrd 5139	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  Fieldcfield 20814  SubDRingcsdrg 20867  /_FldExtcfldext 33973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-cmn 19852  df-mgp 20217  df-ring 20317  df-cring 20318  df-subrg 20655  df-field 20816  df-sdrg 20868  df-fldext 33976

This theorem is referenced by:  fldextrspundglemul  34014  fldextrspundgdvdslem  34015  fldextrspundgdvds  34016  fldext2rspun  34017