Theorem fldsdrgfldext2 33846

Description: A sub-sub-division-ring of a field forms a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldsdrgfldext.1	⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
fldsdrgfldext.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldsdrgfldext.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
fldsdrgfldext2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺))
fldsdrgfldext2.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfldext2	⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt𝐻)

Proof of Theorem fldsdrgfldext2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s 𝐵)
2		fldsdrgfldext.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
3		fldsdrgfldext.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
4		fldsdrgfldext.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
5		fldsdrgfld 20748	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
7	2, 6	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Field)
8		fldsdrgfldext2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺))
9	1, 7, 8	fldsdrgfldext 33845	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt(𝐺 ↾s 𝐵))
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	sdrgss 20743	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
14	13	sdrgss 20743	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐹))
15	2, 13	ressbas2 17179	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐹) → 𝐴 = (Base‘𝐺))
16	4, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝐺))
17	12, 16	sseqtrrd 3973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
18		ressabs 17189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝐹 ↾s 𝐵))
19	4, 17, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝐹 ↾s 𝐵))
20	2	oveq1i 7380	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐵) = ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
21		fldsdrgfldext2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾s 𝐵)
22	19, 20, 21	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐻)
23	9, 22	breqtrd 5126	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  Fieldcfield 20680  SubDRingcsdrg 20736  /_FldExtcfldext 33822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-cmn 19728  df-mgp 20093  df-ring 20187  df-cring 20188  df-subrg 20520  df-field 20682  df-sdrg 20737  df-fldext 33825

This theorem is referenced by:  fldextrspundglemul  33863  fldextrspundgdvdslem  33864  fldextrspundgdvds  33865  fldext2rspun  33866