Theorem fldsdrgfldext2 33713

Description: A sub-sub-division-ring of a field forms a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldsdrgfldext.1	⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
fldsdrgfldext.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldsdrgfldext.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
fldsdrgfldext2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺))
fldsdrgfldext2.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfldext2	⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt𝐻)

Proof of Theorem fldsdrgfldext2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s 𝐵)
2		fldsdrgfldext.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
3		fldsdrgfldext.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
4		fldsdrgfldext.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
5		fldsdrgfld 20799	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
7	2, 6	eqeltrid 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Field)
8		fldsdrgfldext2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺))
9	1, 7, 8	fldsdrgfldext 33712	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt(𝐺 ↾s 𝐵))
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	sdrgss 20794	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
14	13	sdrgss 20794	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐹))
15	2, 13	ressbas2 17283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐹) → 𝐴 = (Base‘𝐺))
16	4, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝐺))
17	12, 16	sseqtrrd 4021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
18		ressabs 17294	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝐹 ↾s 𝐵))
19	4, 17, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝐹 ↾s 𝐵))
20	2	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐵) = ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
21		fldsdrgfldext2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾s 𝐵)
22	19, 20, 21	3eqtr4g 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐻)
23	9, 22	breqtrd 5169	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  Fieldcfield 20730  SubDRingcsdrg 20787  /_FldExtcfldext 33689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrg 20570  df-field 20732  df-sdrg 20788  df-fldext 33693

This theorem is referenced by:  fldextrspundglemul  33729  fldextrspundgdvdslem  33730  fldextrspundgdvds  33731  fldext2rspun  33732