Theorem fldsdrgfldext2 33961

Description: A sub-sub-division-ring of a field forms a field extension. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldsdrgfldext.1	⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
fldsdrgfldext.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
fldsdrgfldext.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
fldsdrgfldext2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺))
fldsdrgfldext2.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfldext2	⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt𝐻)

Proof of Theorem fldsdrgfldext2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s 𝐵)
2		fldsdrgfldext.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ↾s 𝐴)
3		fldsdrgfldext.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
4		fldsdrgfldext.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹))
5		fldsdrgfld 20849	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
6	3, 4, 5	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)
7	2, 6	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Field)
8		fldsdrgfldext2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺))
9	1, 7, 8	fldsdrgfldext 33960	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt(𝐺 ↾s 𝐵))
10		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	sdrgss 20844	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubDRing‘𝐺) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
13		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
14	13	sdrgss 20844	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐹))
15	2, 13	ressbas2 17276	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐹) → 𝐴 = (Base‘𝐺))
16	4, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘𝐺))
17	12, 16	sseqtrrd 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
18		ressabs 17286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝐹 ↾s 𝐵))
19	4, 17, 18	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝐹 ↾s 𝐵))
20	2	oveq1i 7408	. . 3 ⊢ (𝐺 ↾s 𝐵) = ((𝐹 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
21		fldsdrgfldext2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾s 𝐵)
22	19, 20, 21	3eqtr4g 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐻)
23	9, 22	breqtrd 5128	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺/FldExt𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  Fieldcfield 20782  SubDRingcsdrg 20837  /_FldExtcfldext 33937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-cmn 19824  df-mgp 20189  df-ring 20287  df-cring 20288  df-subrg 20622  df-field 20784  df-sdrg 20838  df-fldext 33940

This theorem is referenced by:  fldextrspundglemul  33978  fldextrspundgdvdslem  33979  fldextrspundgdvds  33980  fldext2rspun  33981