Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frcond4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frcond4 28048
 Description: The friendship condition, alternatively expressed by neighborhoods: in a friendship graph, the neighborhoods of two different vertices have exactly one vertex in common. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frcond1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frcond1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frcond4 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝐸   𝑘,𝐺,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉,𝑘,𝑙

Proof of Theorem frcond4
StepHypRef Expression
1 frcond1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frcond1.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2frcond3 28047 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑘𝑉𝑙𝑉𝑘𝑙) → ∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥}))
4 eldifsn 4718 . . . . . 6 (𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}) ↔ (𝑙𝑉𝑙𝑘))
5 necom 3069 . . . . . . . 8 (𝑙𝑘𝑘𝑙)
65biimpi 218 . . . . . . 7 (𝑙𝑘𝑘𝑙)
76anim2i 618 . . . . . 6 ((𝑙𝑉𝑙𝑘) → (𝑙𝑉𝑘𝑙))
84, 7sylbi 219 . . . . 5 (𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}) → (𝑙𝑉𝑘𝑙))
98anim2i 618 . . . 4 ((𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})) → (𝑘𝑉 ∧ (𝑙𝑉𝑘𝑙)))
10 3anass 1091 . . . 4 ((𝑘𝑉𝑙𝑉𝑘𝑙) ↔ (𝑘𝑉 ∧ (𝑙𝑉𝑘𝑙)))
119, 10sylibr 236 . . 3 ((𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})) → (𝑘𝑉𝑙𝑉𝑘𝑙))
123, 11impel 508 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}))) → ∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
1312ralrimivva 3191 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934  {csn 4566  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Vtxcvtx 26780  Edgcedg 26831   NeighbVtx cnbgr 27113   FriendGraph cfrgr 28036 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-hash 13690  df-edg 26832  df-upgr 26866  df-umgr 26867  df-usgr 26935  df-nbgr 27114  df-frgr 28037 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator