Theorem frcond4 30079

Description: The friendship condition, alternatively expressed by neighborhoods: in a friendship graph, the neighborhoods of two different vertices have exactly one vertex in common. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frcond1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frcond1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frcond4	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝐸   𝑘,𝐺,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉,𝑘,𝑙

Proof of Theorem frcond4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frcond1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frcond1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	frcond3 30078	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥}))
4		eldifsn 4791	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}) ↔ (𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ≠ 𝑘))
5		necom 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ≠ 𝑘 ↔ 𝑘 ≠ 𝑙)
6	5	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ≠ 𝑘 → 𝑘 ≠ 𝑙)
7	6	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ≠ 𝑘) → (𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙))
8	4, 7	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}) → (𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙))
9	8	anim2i 616	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})) → (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ (𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙)))
10		3anass 1093	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙) ↔ (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ (𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙)))
11	9, 10	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})) → (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙))
12	3, 11	impel 505	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}))) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
13	12	ralrimivva 3197	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946  {csn 4629  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Vtxcvtx 28808  Edgcedg 28859   NeighbVtx cnbgr 29144   FriendGraph cfrgr 30067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322  df-edg 28860  df-upgr 28894  df-umgr 28895  df-usgr 28963  df-nbgr 29145  df-frgr 30068

This theorem is referenced by: (None)