Theorem frcond4 28535

Description: The friendship condition, alternatively expressed by neighborhoods: in a friendship graph, the neighborhoods of two different vertices have exactly one vertex in common. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frcond1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frcond1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frcond4	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝐸   𝑘,𝐺,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉,𝑘,𝑙

Proof of Theorem frcond4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frcond1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frcond1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	frcond3 28534	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥}))
4		eldifsn 4717	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}) ↔ (𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ≠ 𝑘))
5		necom 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 ≠ 𝑘 ↔ 𝑘 ≠ 𝑙)
6	5	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ≠ 𝑘 → 𝑘 ≠ 𝑙)
7	6	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ≠ 𝑘) → (𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙))
8	4, 7	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}) → (𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙))
9	8	anim2i 616	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})) → (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ (𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙)))
10		3anass 1093	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙) ↔ (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ (𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙)))
11	9, 10	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})) → (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ 𝑉 ∧ 𝑘 ≠ 𝑙))
12	3, 11	impel 505	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑘 ∈ 𝑉 ∧ 𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}))) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
13	12	ralrimivva 3114	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320   NeighbVtx cnbgr 27602   FriendGraph cfrgr 28523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-edg 27321  df-upgr 27355  df-umgr 27356  df-usgr 27424  df-nbgr 27603  df-frgr 28524

This theorem is referenced by: (None)