MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frcond4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frcond4 27650
Description: The friendship condition, alternatively expressed by neighborhoods: in a friendship graph, the neighborhoods of two different vertices have exactly one vertex in common. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frcond1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frcond1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frcond4 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝐸   𝑘,𝐺,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉,𝑘,𝑙

Proof of Theorem frcond4
StepHypRef Expression
1 frcond1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frcond1.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2frcond3 27649 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑘𝑉𝑙𝑉𝑘𝑙) → ∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥}))
4 eldifsn 4535 . . . . . 6 (𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}) ↔ (𝑙𝑉𝑙𝑘))
5 necom 3051 . . . . . . . 8 (𝑙𝑘𝑘𝑙)
65biimpi 208 . . . . . . 7 (𝑙𝑘𝑘𝑙)
76anim2i 612 . . . . . 6 ((𝑙𝑉𝑙𝑘) → (𝑙𝑉𝑘𝑙))
84, 7sylbi 209 . . . . 5 (𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}) → (𝑙𝑉𝑘𝑙))
98anim2i 612 . . . 4 ((𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})) → (𝑘𝑉 ∧ (𝑙𝑉𝑘𝑙)))
10 3anass 1122 . . . 4 ((𝑘𝑉𝑙𝑉𝑘𝑙) ↔ (𝑘𝑉 ∧ (𝑙𝑉𝑘𝑙)))
119, 10sylibr 226 . . 3 ((𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})) → (𝑘𝑉𝑙𝑉𝑘𝑙))
123, 11impel 503 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}))) → ∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
1312ralrimivva 3179 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  wral 3116  wrex 3117  cdif 3794  cin 3796  {csn 4396  cfv 6122  (class class class)co 6904  Vtxcvtx 26293  Edgcedg 26344   NeighbVtx cnbgr 26628   FriendGraph cfrgr 27636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-card 9077  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-n0 11618  df-xnn0 11690  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-hash 13410  df-edg 26345  df-upgr 26379  df-umgr 26380  df-usgr 26449  df-nbgr 26629  df-frgr 27637
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator