MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frcond4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frcond4 30098
Description: The friendship condition, alternatively expressed by neighborhoods: in a friendship graph, the neighborhoods of two different vertices have exactly one vertex in common. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frcond1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frcond1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frcond4 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝐸   𝑘,𝐺,𝑙   𝑘,𝑉,𝑙   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉,𝑘,𝑙

Proof of Theorem frcond4
StepHypRef Expression
1 frcond1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frcond1.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2frcond3 30097 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑘𝑉𝑙𝑉𝑘𝑙) → ∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥}))
4 eldifsn 4793 . . . . . 6 (𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}) ↔ (𝑙𝑉𝑙𝑘))
5 necom 2990 . . . . . . . 8 (𝑙𝑘𝑘𝑙)
65biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑙𝑘𝑘𝑙)
76anim2i 615 . . . . . 6 ((𝑙𝑉𝑙𝑘) → (𝑙𝑉𝑘𝑙))
84, 7sylbi 216 . . . . 5 (𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}) → (𝑙𝑉𝑘𝑙))
98anim2i 615 . . . 4 ((𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})) → (𝑘𝑉 ∧ (𝑙𝑉𝑘𝑙)))
10 3anass 1092 . . . 4 ((𝑘𝑉𝑙𝑉𝑘𝑙) ↔ (𝑘𝑉 ∧ (𝑙𝑉𝑘𝑙)))
119, 10sylibr 233 . . 3 ((𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})) → (𝑘𝑉𝑙𝑉𝑘𝑙))
123, 11impel 504 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘}))) → ∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
1312ralrimivva 3196 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘𝑉𝑙 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑥𝑉 ((𝐺 NeighbVtx 𝑘) ∩ (𝐺 NeighbVtx 𝑙)) = {𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  cdif 3944  cin 3946  {csn 4630  cfv 6551  (class class class)co 7424  Vtxcvtx 28827  Edgcedg 28878   NeighbVtx cnbgr 29163   FriendGraph cfrgr 30086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12859  df-fz 13523  df-hash 14328  df-edg 28879  df-upgr 28913  df-umgr 28914  df-usgr 28982  df-nbgr 29164  df-frgr 30087
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator