Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  funcringcsetclem3ALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcringcsetclem3ALTV 46433
Description: Lemma 3 for funcringcsetcALTV 46440. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
funcringcsetcALTV.r 𝑅 = (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)
funcringcsetcALTV.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcringcsetcALTV.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
funcringcsetcALTV.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcringcsetcALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcringcsetcALTV.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
funcringcsetclem3ALTV (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐢
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem funcringcsetclem3ALTV
StepHypRef Expression
1 funcringcsetcALTV.r . . . . . 6 𝑅 = (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)
2 funcringcsetcALTV.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 funcringcsetcALTV.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
41, 2, 3ringcbasbasALTV 46430 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘₯) ∈ π‘ˆ)
5 funcringcsetcALTV.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
65, 3setcbas 17971 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘†))
76eqcomd 2743 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = π‘ˆ)
87adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = π‘ˆ)
94, 8eleqtrrd 2841 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
10 funcringcsetcALTV.c . . . 4 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
119, 10eleqtrrdi 2849 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
1211fmpttd 7068 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)):𝐡⟢𝐢)
13 funcringcsetcALTV.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
1413feq1d 6658 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)):𝐡⟢𝐢))
1512, 14mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  WUnicwun 10643  Basecbs 17090  SetCatcsetc 17968  RingCatALTVcringcALTV 46376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-wun 10645  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-hom 17164  df-cco 17165  df-setc 17969  df-ringcALTV 46378
This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV  46440
  Copyright terms: Public domain W3C validator