Theorem setcbas 18215

Description: Set of objects of the category of sets (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcbas.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setcbas	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))

Proof of Theorem setcbas

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		catstr 18097	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 ↑m 𝑥))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧 ↑m (2nd ‘𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd ‘𝑣) ↑m (1st ‘𝑣)) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓)))⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
3		baseid 17352	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		snsstp1 4776	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 ↑m 𝑥))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧 ↑m (2nd ‘𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd ‘𝑣) ↑m (1st ‘𝑣)) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓)))⟩}
5	2, 3, 4	strfv 17343	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 ↑m 𝑥))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧 ↑m (2nd ‘𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd ‘𝑣) ↑m (1st ‘𝑣)) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓)))⟩}))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 ↑m 𝑥))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧 ↑m (2nd ‘𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd ‘𝑣) ↑m (1st ‘𝑣)) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓)))⟩}))
7		setcbas.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
8		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 ↑m 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 ↑m 𝑥)))
9		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧 ↑m (2nd ‘𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd ‘𝑣) ↑m (1st ‘𝑣)) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓))) = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧 ↑m (2nd ‘𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd ‘𝑣) ↑m (1st ‘𝑣)) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓))))
10	7, 1, 8, 9	setcval 18214	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 ↑m 𝑥))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧 ↑m (2nd ‘𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd ‘𝑣) ↑m (1st ‘𝑣)) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓)))⟩})
11	10	fveq2d 6877	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑦 ↑m 𝑥))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧 ↑m (2nd ‘𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd ‘𝑣) ↑m (1st ‘𝑣)) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓)))⟩}))
12	6, 11	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {ctp 4587  ⟨cop 4589   × cxp 5645   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  1^st c1st 7982  2^nd c2nd 7983   ↑_m cmap 8825  1c1 11173  5c5 12370  ;cdc 12784  ndxcnx 17333  Basecbs 17349  Hom chom 17401  compcco 17402  SetCatcsetc 18212

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-struct 17287  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-hom 17414  df-cco 17415  df-setc 18213

This theorem is used by:  setccatid  18221  setcmon  18224  setcepi  18225  setcsect  18226  setcinv  18227  setciso  18228  resssetc  18229  funcsetcres2  18230  setc2obas  18231  cat1lem  18233  funcestrcsetclem3  18278  equivestrcsetc  18288  setc1strwun  18289  funcsetcestrclem7  18297  funcsetcestrclem8  18298  funcsetcestrclem9  18299  fthsetcestrc  18301  fullsetcestrc  18302  hofcl  18395  yonedalem3a  18410  yonedalem4c  18413  yonedalem3b  18415  yonedalem3  18416  yonedainv  18417  yonffthlem  18418  funcringcsetcALTV2lem3  49311  funcringcsetclem3ALTV  49334  nelsubc3  50101  setcthin  50495  setcsnterm  50520  setc1obas  50522