Theorem fzolb 13754

Description: The left endpoint of a half-open integer interval is in the set iff the two arguments are integers with 𝑀 < 𝑁. This provides an alternative notation for the "strict upper integer" predicate by analogy to the "weak upper integer" predicate 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzolb	⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))

Proof of Theorem fzolb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo2 13750	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
2		eluzel2 12925	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		uzid 12935	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	impbii 212	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	3anbi1i 1175	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
6	1, 5	bitri 278	1 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   < clt 11300  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  ..^cfzo 13742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743

This theorem is used by:  fzolb2  13755  elfzolt2b  13759  elfzolt3b  13760  elfzo3  13765  lbfzo0  13788  fzo1lb  13802  fzoopth  13851  ccatval21sw  14684  lswccatn0lsw  14691  ccat2s1p2  14731  pthdadjvtx  30232  itgspltprt  46905  fourierdlem25  47058  fourierdlem37  47070  fourierdlem41  47074  fourierdlem48  47080  fourierdlem64  47096  fourierdlem73  47105  fourierdlem79  47111  fzopred  48309  gpgprismgrusgra  49072